Страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

179. Постройте в одной и той же системе координат графики функций:

а) Построим графики функций $y = x + 5$, $y = -0,5x + 5$ и $y = 5$ в одной системе координат. Все три функции являются линейными, их графики — прямые. Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух точек.

Для функции $y = x + 5$:
Это прямая. Найдем две точки, принадлежащие этой прямой.
Если $x = 0$, то $y = 0 + 5 = 5$. Получаем точку $(0; 5)$.
Если $x = -5$, то $y = -5 + 5 = 0$. Получаем точку $(-5; 0)$.
График — это прямая, проходящая через точки $(0; 5)$ и $(-5; 0)$.

Для функции $y = -0,5x + 5$:
Это также прямая. Найдем две точки.
Если $x = 0$, то $y = -0,5 \cdot 0 + 5 = 5$. Получаем точку $(0; 5)$.
Если $x = 2$, то $y = -0,5 \cdot 2 + 5 = -1 + 5 = 4$. Получаем точку $(2; 4)$.
График — это прямая, проходящая через точки $(0; 5)$ и $(2; 4)$.

Для функции $y = 5$:
График этой функции — это прямая, параллельная оси абсцисс ($Ox$) и проходящая через точку $(0; 5)$ на оси ординат ($Oy$). Все точки этой прямой имеют ординату, равную 5, например, $(0; 5)$ и $(3; 5)$.

При построении всех трех графиков в одной системе координат видно, что все они пересекаются в одной общей точке $(0; 5)$, так как у всех функций при $x=0$ значение $y$ равно 5.

Ответ: Графики функций $y=x+5$, $y=-0,5x+5$ и $y=5$ — это три прямые, которые пересекаются в одной точке с координатами $(0; 5)$.

б) Построим графики функций $y = 0,5x + 3$, $y = 0,5x$ и $y = 0,5x - 2$ в одной системе координат. Эти функции также линейные, их графики — прямые.

Для функции $y = 0,5x + 3$:
Это прямая. Найдем две точки.
Если $x = 0$, то $y = 0,5 \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0; 3)$.
Если $x = 2$, то $y = 0,5 \cdot 2 + 3 = 1 + 3 = 4$. Получаем точку $(2; 4)$.
График — это прямая, проходящая через точки $(0; 3)$ и $(2; 4)$.

Для функции $y = 0,5x$:
Это прямая, проходящая через начало координат. Найдем две точки.
Если $x = 0$, то $y = 0,5 \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0; 0)$.
Если $x = 4$, то $y = 0,5 \cdot 4 = 2$. Получаем точку $(4; 2)$.
График — это прямая, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(4; 2)$.

Для функции $y = 0,5x - 2$:
Это прямая. Найдем две точки.
Если $x = 0$, то $y = 0,5 \cdot 0 - 2 = -2$. Получаем точку $(0; -2)$.
Если $x = 4$, то $y = 0,5 \cdot 4 - 2 = 2 - 2 = 0$. Получаем точку $(4; 0)$.
График — это прямая, проходящая через точки $(0; -2)$ и $(4; 0)$.

При построении всех трех графиков в одной системе координат видно, что они параллельны друг другу. Это происходит потому, что у всех трех функций одинаковый угловой коэффициент $k = 0,5$. Прямые смещены друг относительно друга вдоль оси $Oy$.

Ответ: Графики функций $y=0,5x+3$, $y=0,5x$ и $y=0,5x-2$ — это три параллельные прямые.

180. Изобразите схематически график функции f (x) = kx + b и перечислите её свойства, если:

а) k › 0, b › 0;

б) k ‹ 0, b ‹ 0;

в) k › 0, b ‹ 0.

а) $k > 0, b > 0$

График функции $f(x) = kx + b$ — это прямая линия. Так как угловой коэффициент $k > 0$, функция является возрастающей, то есть её график направлен вверх при движении слева направо. Угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ — острый. Так как свободный член $b > 0$, прямая пересекает ось ординат (OY) в точке $(0, b)$, которая находится выше начала координат.

Точку пересечения с осью абсцисс (OX), или нуль функции, найдем, решив уравнение $kx + b = 0$. Отсюда $x = -b/k$. Поскольку $k > 0$ и $b > 0$, их отношение $b/k > 0$, а значит, $-b/k < 0$. Следовательно, прямая пересекает ось OX левее начала координат. Таким образом, график функции проходит через I, II и III координатные четверти.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$ (все действительные числа).

2. Область значений: $E(f) = (-\infty, +\infty)$ (все действительные числа).

3. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), поскольку $k \neq 0$ и $b \neq 0$.

4. Нули функции: функция обращается в нуль при $x = -b/k$.

5. Промежутки монотонности: функция строго возрастает на всей области определения $(-\infty, +\infty)$, так как $k > 0$.

6. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x > -b/k$; $f(x) < 0$ при $x < -b/k$.

7. Точки пересечения с осями координат: с осью OY в точке $(0, b)$, с осью OX в точке $(-b/k, 0)$.

Ответ: График функции — это возрастающая прямая, проходящая через I, II и III координатные четверти, пересекающая ось OY в точке $(0, b)$ и ось OX в точке $(-b/k, 0)$, где $b>0$ и $-b/k<0$.

б) $k < 0, b < 0$

График функции $f(x) = kx + b$ — это прямая линия. Так как угловой коэффициент $k < 0$, функция является убывающей, то есть её график направлен вниз при движении слева направо. Угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ — тупой. Так как свободный член $b < 0$, прямая пересекает ось ординат (OY) в точке $(0, b)$, которая находится ниже начала координат.

Точку пересечения с осью абсцисс (OX) найдем из уравнения $kx + b = 0$, откуда $x = -b/k$. Поскольку $k < 0$ и $b < 0$, их отношение $b/k > 0$, а значит, $-b/k < 0$. Следовательно, прямая пересекает ось OX левее начала координат. Таким образом, график функции проходит через II, III и IV координатные четверти.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = (-\infty, +\infty)$.

3. Четность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

4. Нули функции: $f(x) = 0$ при $x = -b/k$.

5. Промежутки монотонности: функция строго убывает на всей области определения $(-\infty, +\infty)$, так как $k < 0$.

6. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x < -b/k$; $f(x) < 0$ при $x > -b/k$.

7. Точки пересечения с осями координат: с осью OY в точке $(0, b)$, с осью OX в точке $(-b/k, 0)$.

Ответ: График функции — это убывающая прямая, проходящая через II, III и IV координатные четверти, пересекающая ось OY в точке $(0, b)$ и ось OX в точке $(-b/k, 0)$, где $b<0$ и $-b/k<0$.

в) $k > 0, b < 0$

График функции $f(x) = kx + b$ — это прямая линия. Так как угловой коэффициент $k > 0$, функция является возрастающей, а угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ — острый. Так как свободный член $b < 0$, прямая пересекает ось ординат (OY) в точке $(0, b)$, которая находится ниже начала координат.

Точку пересечения с осью абсцисс (OX) найдем из уравнения $kx + b = 0$, откуда $x = -b/k$. Поскольку $k > 0$ и $b < 0$, их отношение $b/k < 0$, а значит, $-b/k > 0$. Следовательно, прямая пересекает ось OX правее начала координат. Таким образом, график функции проходит через I, III и IV координатные четверти.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = (-\infty, +\infty)$.

3. Четность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

4. Нули функции: $f(x) = 0$ при $x = -b/k$.

5. Промежутки монотонности: функция строго возрастает на всей области определения $(-\infty, +\infty)$, так как $k > 0$.

6. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x > -b/k$; $f(x) < 0$ при $x < -b/k$.

7. Точки пересечения с осями координат: с осью OY в точке $(0, b)$, с осью OX в точке $(-b/k, 0)$.

Ответ: График функции — это возрастающая прямая, проходящая через I, III и IV координатные четверти, пересекающая ось OY в точке $(0, b)$ и ось OX в точке $(-b/k, 0)$, где $b<0$ и $-b/k>0$.

181. Постройте график функции:

а) $y = -\frac{12}{x}$

Данная функция представляет собой обратную пропорциональность вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = -12$. Графиком этой функции является гипербола.

Поскольку коэффициент $k = -12 < 0$, ветви гиперболы располагаются во второй (II) и четвертой (IV) координатных четвертях. Оси координат $Ox$ (ось абсцисс) и $Oy$ (ось ординат) являются асимптотами графика. Это означает, что ветви гиперболы будут бесконечно приближаться к осям, но никогда их не пересекут. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$.

Для построения графика необходимо найти координаты нескольких точек. Для удобства вычислений выберем в качестве значений $x$ целые делители числа 12.

Составим таблицу значений:
Для ветви в IV четверти ($x > 0$):
- при $x=1$, $y = -\frac{12}{1} = -12$; Точка $(1, -12)$
- при $x=2$, $y = -\frac{12}{2} = -6$; Точка $(2, -6)$
- при $x=3$, $y = -\frac{12}{3} = -4$; Точка $(3, -4)$
- при $x=4$, $y = -\frac{12}{4} = -3$; Точка $(4, -3)$
- при $x=6$, $y = -\frac{12}{6} = -2$; Точка $(6, -2)$
- при $x=12$, $y = -\frac{12}{12} = -1$; Точка $(12, -1)$

Для ветви во II четверти ($x < 0$):
- при $x=-1$, $y = -\frac{12}{-1} = 12$; Точка $(-1, 12)$
- при $x=-2$, $y = -\frac{12}{-2} = 6$; Точка $(-2, 6)$
- при $x=-3$, $y = -\frac{12}{-3} = 4$; Точка $(-3, 4)$
- при $x=-4$, $y = -\frac{12}{-4} = 3$; Точка $(-4, 3)$
- при $x=-6$, $y = -\frac{12}{-6} = 2$; Точка $(-6, 2)$
- при $x=-12$, $y = -\frac{12}{-12} = 1$; Точка $(-12, 1)$

Чтобы построить график, нужно отметить эти точки на координатной плоскости и соединить их плавными линиями, помня, что они не должны пересекать оси координат.

Ответ: Графиком функции является гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

б) $y = \frac{10}{x}$

Это также функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = 10$. Графиком функции является гипербола.

Поскольку коэффициент $k = 10 > 0$, ветви гиперболы располагаются в первой (I) и третьей (III) координатных четвертях. Оси координат $Ox$ и $Oy$ служат асимптотами для графика. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$.

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, выбрав для $x$ целые делители числа 10.

Составим таблицу значений:
Для ветви в I четверти ($x > 0$):
- при $x=1$, $y = \frac{10}{1} = 10$; Точка $(1, 10)$
- при $x=2$, $y = \frac{10}{2} = 5$; Точка $(2, 5)$
- при $x=5$, $y = \frac{10}{5} = 2$; Точка $(5, 2)$
- при $x=10$, $y = \frac{10}{10} = 1$; Точка $(10, 1)$

Для ветви в III четверти ($x < 0$):
- при $x=-1$, $y = \frac{10}{-1} = -10$; Точка $(-1, -10)$
- при $x=-2$, $y = \frac{10}{-2} = -5$; Точка $(-2, -5)$
- при $x=-5$, $y = \frac{10}{-5} = -2$; Точка $(-5, -2)$
- при $x=-10$, $y = \frac{10}{-10} = -1$; Точка $(-10, -1)$

Нанеся эти точки на координатную плоскость и соединив их плавными кривыми, которые приближаются к осям, но не пересекают их, получим искомый график.

Ответ: Графиком функции является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

182. Постройте график функции y = kx при k, равном: а) 2; б) 0,5. Как меняется характер графика в зависимости от коэффициента k?

а) Построим график функции $y = \sqrt{kx}$ при $k = 2$, то есть $y = \sqrt{2x}$.

Функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно: $2x \ge 0$, что означает $x \ge 0$.

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему. Составим таблицу значений:

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. График представляет собой ветвь параболы, начинающуюся в точке (0; 0) и расположенную в первой координатной четверти.

Ответ: График функции $y = \sqrt{2x}$ — это ветвь параболы, проходящая через точки (0; 0), (0,5; 1), (2; 2), (4,5; 3), (8; 4).

б) Построим график функции $y = \sqrt{kx}$ при $k = 0,5$, то есть $y = \sqrt{0,5x}$.

Область определения функции: $0,5x \ge 0$, что означает $x \ge 0$.

Составим таблицу значений для этой функции:

График этой функции также является ветвью параболы, выходящей из начала координат и расположенной в первой координатной четверти.

Ответ: График функции $y = \sqrt{0,5x}$ — это ветвь параболы, проходящая через точки (0; 0), (2; 1), (8; 2), (18; 3).

Как меняется характер графика в зависимости от коэффициента k?

Все графики вида $y = \sqrt{kx}$ (при $k > 0$) являются ветвями параболы, выходящими из начала координат. Коэффициент $k$ влияет на "крутизну" графика. Функцию можно записать как $y = \sqrt{k} \cdot \sqrt{x}$. Это показывает, что график получается из базового графика $y = \sqrt{x}$ путем растяжения или сжатия вдоль оси OY.

• При $k > 1$ (как в случае $k=2$), график функции $y = \sqrt{kx}$ расположен выше графика $y = \sqrt{x}$. Это соответствует растяжению графика от оси OX в $\sqrt{k}$ раз. Чем больше $k$, тем "круче" поднимается график.

• При $0 < k < 1$ (как в случае $k=0,5$), график функции $y = \sqrt{kx}$ расположен ниже графика $y = \sqrt{x}$. Это соответствует сжатию графика к оси OX в $1/\sqrt{k}$ раз. Чем меньше $k$ (но больше 0), тем более пологим является график.

Таким образом, коэффициент $k$ определяет скорость роста функции.

Ответ: С увеличением положительного коэффициента $k$ график функции $y=\sqrt{kx}$ растягивается вдоль оси OY, становясь круче. С уменьшением $k$ (при $k>0$) график сжимается к оси OX, становясь более пологим.

183. Постройте в одной системе координат графики функций y = $\frac{1}{3}$x² и y = - $\frac{1}{3}$x². Найдите промежутки возрастания и убывания для каждой функции.

Для решения задачи необходимо построить графики двух квадратичных функций и определить для каждой из них промежутки, на которых они возрастают и убывают.

Построение графиков и анализ функции $y = \frac{1}{3}x^2$

1. Анализ функции:
Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где $a = \frac{1}{3}$. Так как $a > 0$, график функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Ось симметрии параболы — ось OY.

2. Построение графика:
Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих параболе, составив таблицу значений. Выберем значения $x$, удобные для вычисления (кратные 3).

• при $x = 0$, $y = \frac{1}{3} \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• при $x = 3$, $y = \frac{1}{3} \cdot 3^2 = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$. Точка $(3, 3)$.
• при $x = -3$, $y = \frac{1}{3} \cdot (-3)^2 = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$. Точка $(-3, 3)$.
• при $x = 6$, $y = \frac{1}{3} \cdot 6^2 = \frac{1}{3} \cdot 36 = 12$. Точка $(6, 12)$.
• при $x = -6$, $y = \frac{1}{3} \cdot (-6)^2 = \frac{1}{3} \cdot 36 = 12$. Точка $(-6, 12)$.

Отметив эти точки в системе координат и соединив их плавной линией, получим график параболы.

3. Промежутки возрастания и убывания:
Вершина параболы в точке $x=0$ разделяет график на две части.

• На промежутке от $-\infty$ до $0$ (слева от вершины) с увеличением $x$ значения $y$ уменьшаются. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• На промежутке от $0$ до $+\infty$ (справа от вершины) с увеличением $x$ значения $y$ увеличиваются. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: для функции $y = \frac{1}{3}x^2$ промежуток возрастания — $[0, +\infty)$, промежуток убывания — $(-\infty, 0]$.

Построение графиков и анализ функции $y = -\frac{1}{3}x^2$

1. Анализ функции:
Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где $a = -\frac{1}{3}$. Так как $a < 0$, график функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы также находится в точке $(0, 0)$. Ось симметрии — ось OY. График этой функции симметричен графику $y = \frac{1}{3}x^2$ относительно оси OX.

2. Построение графика:
Составим таблицу значений:

• при $x = 0$, $y = -\frac{1}{3} \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• при $x = 3$, $y = -\frac{1}{3} \cdot 3^2 = -\frac{1}{3} \cdot 9 = -3$. Точка $(3, -3)$.
• при $x = -3$, $y = -\frac{1}{3} \cdot (-3)^2 = -\frac{1}{3} \cdot 9 = -3$. Точка $(-3, -3)$.
• при $x = 6$, $y = -\frac{1}{3} \cdot 6^2 = -\frac{1}{3} \cdot 36 = -12$. Точка $(6, -12)$.
• при $x = -6$, $y = -\frac{1}{3} \cdot (-6)^2 = -\frac{1}{3} \cdot 36 = -12$. Точка $(-6, -12)$.

Построим вторую параболу по этим точкам в той же системе координат.

3. Промежутки возрастания и убывания:
Вершина параболы в точке $x=0$.

• На промежутке от $-\infty$ до $0$ (слева от вершины) с увеличением $x$ значения $y$ увеличиваются. Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• На промежутке от $0$ до $+\infty$ (справа от вершины) с увеличением $x$ значения $y$ уменьшаются. Следовательно, функция убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: для функции $y = -\frac{1}{3}x^2$ промежуток возрастания — $(-\infty, 0]$, промежуток убывания — $[0, +\infty)$.

184. Изобразите схематически в одной системе координат графики функций у = ax² для случая: a ‹ 0; a › 0. Перечислите свойства функции для каждого случая.

Графиком функции $y = ax^2$ является парабола, вершина которой находится в начале координат, точке $(0, 0)$. Осью симметрии параболы является ось ординат (ось $Oy$). Направление ветвей параболы и ее "крутизна" зависят от коэффициента $a$.

Ниже представлен схематический вид графиков для случаев $a > 0$ (синий цвет) и $a < 0$ (красный цвет).

a > 0

Если коэффициент $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх. График функции расположен в первой и второй координатных четвертях.

Основные свойства функции:

1. Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: все неотрицательные числа, $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.

4. Четность: функция является четной, так как $y(-x) = a(-x)^2 = ax^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.

5. Промежутки знакопостоянства: функция положительна ($y > 0$) при всех $x \neq 0$.

6. Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Экстремумы: в точке $x = 0$ функция достигает своего минимума, $y_{min} = 0$. Максимального значения не существует.

Ответ: При $a > 0$ график — парабола с ветвями вверх и вершиной в $(0,0)$. Свойства: $D(y)=(-\infty; +\infty)$, $E(y)=[0; +\infty)$, функция четная, убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$, $y_{min}=0$ при $x=0$.

a < 0

Если коэффициент $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз. График функции расположен в третьей и четвертой координатных четвертях.

Основные свойства функции:

1. Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: все неположительные числа, $E(y) = (-\infty; 0]$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.

4. Четность: функция является четной, так как $y(-x) = a(-x)^2 = ax^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.

5. Промежутки знакопостоянства: функция отрицательна ($y < 0$) при всех $x \neq 0$.

6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Экстремумы: в точке $x = 0$ функция достигает своего максимума, $y_{max} = 0$. Минимального значения не существует.

Ответ: При $a < 0$ график — парабола с ветвями вниз и вершиной в $(0,0)$. Свойства: $D(y)=(-\infty; +\infty)$, $E(y)=(-\infty; 0]$, функция четная, возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$, $y_{max}=0$ при $x=0$.

185. Постройте в одной системе координат графики функций y = $\frac{1}{9}$x³ и y = -$\frac{1}{9}$x³. Найдите промежутки возрастания и убывания для каждой функции.

Построение графиков функций $y = \frac{1}{9}x^3$ и $y = -\frac{1}{9}x^3$

Обе функции являются разновидностями кубической параболы. График функции $y = \frac{1}{9}x^3$ получается из графика $y = x^3$ путем сжатия к оси Ох в 9 раз. График функции $y = -\frac{1}{9}x^3$ является зеркальным отражением графика $y = \frac{1}{9}x^3$ относительно оси Ох.

Для построения графиков в одной системе координат составим таблицу значений для нескольких ключевых точек.

Таблица значений:
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3
$y = \frac{1}{9}x^3$ | -3 | $-\frac{8}{9}$ | $-\frac{1}{9}$ | 0 | $\frac{1}{9}$ | $\frac{8}{9}$ | 3
$y = -\frac{1}{9}x^3$ | 3 | $\frac{8}{9}$ | $\frac{1}{9}$ | 0 | $-\frac{1}{9}$ | $-\frac{8}{9}$ | -3

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, мы получим два графика. Оба проходят через начало координат (0,0). График $y = \frac{1}{9}x^3$ расположен в I и III координатных четвертях. График $y = -\frac{1}{9}x^3$ расположен во II и IV координатных четвертях.

Промежутки возрастания и убывания для функции $y = \frac{1}{9}x^3$

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, проанализируем поведение функции. Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.
Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Возьмем любые $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_1 < x_2$.
Так как функция $g(x) = x^3$ является возрастающей на всей числовой оси, то из $x_1 < x_2$ следует $x_1^3 < x_2^3$.
Умножим обе части неравенства на положительное число $\frac{1}{9}$. Знак неравенства при этом не изменится: $\frac{1}{9}x_1^3 < \frac{1}{9}x_2^3$.
Таким образом, $y(x_1) < y(x_2)$. Это означает, что функция $y = \frac{1}{9}x^3$ возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

Промежутки возрастания и убывания для функции $y = -\frac{1}{9}x^3$

Проведем аналогичный анализ для второй функции. Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.
Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Возьмем любые $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_1 < x_2$.
Как и ранее, из $x_1 < x_2$ следует $x_1^3 < x_2^3$.
Теперь умножим обе части неравенства на отрицательное число $-\frac{1}{9}$. Знак неравенства при этом изменится на противоположный: $-\frac{1}{9}x_1^3 > -\frac{1}{9}x_2^3$.
Таким образом, $y(x_1) > y(x_2)$. Это означает, что функция $y = -\frac{1}{9}x^3$ убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

186. Докажите, что:

а) сумма двух чётных функций есть функция чётная;

б) сумма двух нечётных функций — функция нечётная.

а) сумма двух чётных функций есть функция чётная;

Для доказательства этого утверждения воспользуемся определением чётной функции. Функция $y=f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Также её область определения должна быть симметрична относительно начала координат.

Пусть у нас есть две чётные функции, $f(x)$ и $g(x)$. Это означает, что для них выполняются следующие условия:

$f(-x) = f(x)$

$g(-x) = g(x)$

Пусть их области определения — $D_f$ и $D_g$ соответственно, обе симметричны относительно нуля.

Рассмотрим их сумму — функцию $h(x) = f(x) + g(x)$. Область определения функции $h(x)$ есть пересечение областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$, то есть $D_h = D_f \cap D_g$. Так как $D_f$ и $D_g$ симметричны, их пересечение $D_h$ также будет симметричным множеством.

Теперь проверим, выполняется ли для функции $h(x)$ условие чётности. Для этого найдём $h(-x)$:

$h(-x) = f(-x) + g(-x)$

Поскольку функции $f(x)$ и $g(x)$ являются чётными, мы можем заменить $f(-x)$ на $f(x)$ и $g(-x)$ на $g(x)$:

$h(-x) = f(x) + g(x)$

Правая часть этого выражения по определению равна $h(x)$. Следовательно, мы получаем:

$h(-x) = h(x)$

Так как область определения $h(x)$ симметрична и выполняется равенство $h(-x) = h(x)$, функция $h(x)$ является чётной. Таким образом, сумма двух чётных функций есть функция чётная.

Ответ: Утверждение доказано.

б) сумма двух нечётных функций — функция нечётная.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся определением нечётной функции. Функция $y=f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Её область определения также должна быть симметрична относительно начала координат.

Пусть у нас есть две нечётные функции, $f(x)$ и $g(x)$. Это означает, что для них выполняются следующие условия:

$f(-x) = -f(x)$

$g(-x) = -g(x)$

Пусть их области определения — $D_f$ и $D_g$ соответственно, обе симметричны относительно нуля.

Рассмотрим их сумму — функцию $h(x) = f(x) + g(x)$. Область определения функции $h(x)$, как и в предыдущем пункте, $D_h = D_f \cap D_g$, является симметричным множеством.

Теперь проверим, выполняется ли для функции $h(x)$ условие нечётности. Для этого найдём $h(-x)$:

$h(-x) = f(-x) + g(-x)$

Поскольку функции $f(x)$ и $g(x)$ являются нечётными, мы можем заменить $f(-x)$ на $-f(x)$ и $g(-x)$ на $-g(x)$:

$h(-x) = (-f(x)) + (-g(x))$

Вынесем знак минус за скобки:

$h(-x) = -(f(x) + g(x))$

Выражение в скобках по определению равно $h(x)$. Следовательно, мы получаем:

$h(-x) = -h(x)$

Так как область определения $h(x)$ симметрична и выполняется равенство $h(-x) = -h(x)$, функция $h(x)$ является нечётной. Таким образом, сумма двух нечётных функций есть функция нечётная.

Ответ: Утверждение доказано.

187. Докажите, что:

а) произведение двух чётных функций является чётной функцией;

б) произведение двух нечётных функций есть функция чётная;

в) произведение чётной и нечётной функций есть функция нечётная.

Для доказательства данных утверждений воспользуемся определениями чётной и нечётной функций.
Функция $y=f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Функция $y=f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Область определения чётных и нечётных функций должна быть симметрична относительно нуля.

а) произведение двух чётных функций является чётной функцией;

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ — две чётные функции. Согласно определению, для них выполняются равенства: $f(-x) = f(x)$
$g(-x) = g(x)$
Рассмотрим их произведение, функцию $h(x) = f(x) \cdot g(x)$. Чтобы проверить её на чётность, найдём значение $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$
Подставим в это выражение свойства чётности функций $f(x)$ и $g(x)$:
$h(-x) = f(x) \cdot g(x)$
Так как $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, мы получили, что $h(-x) = h(x)$. Это означает, что функция $h(x)$ является чётной, что и требовалось доказать.
Ответ: доказано, что произведение двух чётных функций является чётной функцией.

б) произведение двух нечётных функций есть функция чётная;

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ — две нечётные функции. Согласно определению, для них выполняются равенства:
$f(-x) = -f(x)$
$g(-x) = -g(x)$
Рассмотрим их произведение, функцию $h(x) = f(x) \cdot g(x)$. Найдём значение $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$
Подставим в это выражение свойства нечётности функций $f(x)$ и $g(x)$:
$h(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x)) = (-1) \cdot f(x) \cdot (-1) \cdot g(x) = (-1)(-1) \cdot (f(x) \cdot g(x)) = f(x) \cdot g(x)$
Поскольку $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, мы получили, что $h(-x) = h(x)$. Это означает, что функция $h(x)$ является чётной, что и требовалось доказать.
Ответ: доказано, что произведение двух нечётных функций есть функция чётная.

в) произведение чётной и нечётной функций есть функция нечётная.

Пусть $f(x)$ — чётная функция, а $g(x)$ — нечётная. Это означает, что:
$f(-x) = f(x)$
$g(-x) = -g(x)$
Рассмотрим их произведение, функцию $h(x) = f(x) \cdot g(x)$. Найдём значение $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$
Подставим в это выражение свойства данных функций:
$h(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = -(f(x) \cdot g(x))$
Так как $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, мы получили, что $h(-x) = -h(x)$. Это означает, что функция $h(x)$ является нечётной, что и требовалось доказать.
Ответ: доказано, что произведение чётной и нечётной функций есть функция нечётная.

188. Задайте уравнением функцию y = f (x), график которой представлен на рисунке 40, и опишите её свойства.

a) На графике изображена функция, график которой имеет V-образную форму, что характерно для функции модуля. Вершина стандартного графика $y=|x|$ находится в точке $(0,0)$. На данном рисунке вершина находится в точке $(-2,0)$. Это означает, что график был смещен на 2 единицы влево по оси $Ox$. Угловые коэффициенты ветвей равны $1$ и $-1$. Таким образом, уравнение функции: $y = |x + 2|$.

Свойства функции $y = |x + 2|$:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = [0; +\infty)$.
3. Нуль функции: $x = -2$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.
5. Четность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
6. Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$ и возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$.
7. Экстремумы: точка минимума $(-2, 0)$.

Ответ: Уравнение функции $y = |x + 2|$.

б) График функции является гиперболой. Стандартная гипербола $y = k/x$ имеет асимптоты $x=0$ и $y=0$. На данном графике мы видим, что вертикальная асимптота смещена вправо и является прямой $x=1$, а горизонтальная асимптота осталась прежней, $y=0$. Это указывает на сдвиг графика на 1 единицу вправо. Уравнение функции принимает вид $y = \frac{k}{x - 1}$. Чтобы найти коэффициент $k$, воспользуемся одной из точек на графике, например, $(2, 1)$. Подставляем ее координаты в уравнение: $1 = \frac{k}{2 - 1}$, откуда получаем $k = 1$. Таким образом, искомое уравнение: $y = \frac{1}{x-1}$.

Свойства функции $y = \frac{1}{x-1}$:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Нули функции: отсутствуют.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 1)$.
5. Четность: функция общего вида.
6. Монотонность: функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.
7. Экстремумы: отсутствуют.
8. Асимптоты: вертикальная $x=1$, горизонтальная $y=0$.

Ответ: Уравнение функции $y = \frac{1}{x-1}$.

в) График представляет собой ветвь параболы, что характерно для функции квадратного корня. Стандартный график $y=\sqrt{x}$ начинается в точке $(0,0)$. Данный график начинается в точке $(0,1)$, что соответствует сдвигу стандартного графика на 1 единицу вверх по оси $Oy$. Таким образом, уравнение функции имеет вид $y = a\sqrt{x} + 1$. Для нахождения коэффициента $a$ подставим координаты точки $(1, 2)$, лежащей на графике: $2 = a\sqrt{1} + 1$, откуда $a=1$. Итак, искомое уравнение: $y = \sqrt{x} + 1$.

Свойства функции $y = \sqrt{x} + 1$:
1. Область определения: $D(f) = [0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = [1; +\infty)$.
3. Нули функции: отсутствуют.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на всей области определения.
5. Четность: функция общего вида.
6. Монотонность: функция возрастает на всей области определения $[0; +\infty)$.
7. Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимального значения $y_{min} = 1$. Точка $(0,1)$ является точкой минимума.

Ответ: Уравнение функции $y = \sqrt{x} + 1$.