Страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

189. Обладает ли функция y = f (x) свойством чётности или свойством нечётности, если:

Для того чтобы определить, обладает ли функция свойством чётности или нечётности, необходимо проверить её область определения на симметричность относительно начала координат и найти значение функции $f(-x)$.
- Функция является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
- Функция является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

а) $f(x) = x^3 - 7x$

1. Область определения данной функции — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдём значение функции для $-x$:
$f(-x) = (-x)^3 - 7(-x) = -x^3 + 7x$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) = -x^3 + 7x = -(x^3 - 7x) = -f(x)$.

Поскольку выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.

б) $f(x) = \frac{x^2 + 9}{x}$

1. Область определения данной функции — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. То есть, $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.

2. Найдём значение функции для $-x$:
$f(-x) = \frac{(-x)^2 + 9}{-x} = \frac{x^2 + 9}{-x} = -\frac{x^2 + 9}{x}$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) = -\frac{x^2 + 9}{x} = -f(x)$.

Поскольку выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.

190. Постройте график функции и опишите её свойства:

а) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

1. Упрощение функции и нахождение области определения.
Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$. Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
Упростим выражение для функции. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$.
Теперь, при условии $x \neq 3$, мы можем сократить дробь: $f(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$.

2. Построение графика.
Графиком функции $f(x) = x + 3$ является прямая линия. Однако, поскольку исходная функция не определена в точке $x = 3$, на этой прямой будет "выколотая" точка. Найдем координаты этой точки. Абсцисса $x = 3$. Ординату найдем, подставив это значение в упрощенную функцию: $y = 3 + 3 = 6$. Следовательно, точка с координатами $(3, 6)$ не принадлежит графику.
Для построения прямой $y = x + 3$ достаточно двух точек:

• Если $x = 0$, то $y = 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.
• Если $y = 0$, то $x + 3 = 0$, откуда $x = -3$. Получаем точку $(-3, 0)$.

Графиком является прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(-3, 0)$, с выколотой точкой $(3, 6)$.

3. Свойства функции.

• Область определения: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
• Область значений: Так как $y = x + 3$ и $x \neq 3$, то $y \neq 3 + 3 = 6$. Таким образом, область значений $E(f) = (-\infty; 6) \cup (6; +\infty)$.
• Четность/нечетность: Область определения функции несимметрична относительно начала координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
• Нули функции: $f(x) = 0$ при $x + 3 = 0$, то есть при $x = -3$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x + 3 > 0 \implies x > -3$. С учетом области определения: $x \in (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.
  $f(x) < 0$ при $x + 3 < 0 \implies x < -3$. С учетом области определения: $x \in (-\infty; -3)$.
• Промежутки монотонности: Угловой коэффициент прямой $y = x + 3$ равен $1$, что больше нуля, следовательно, функция возрастает на всей области определения, т.е. на промежутках $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x + 3$ с выколотой точкой $(3, 6)$. Свойства функции перечислены выше.

б) $f(x) = \frac{x^2 - 6x - 7}{x + 1}$

1. Упрощение функции и нахождение области определения.
Найдем область определения функции. Знаменатель не должен равняться нулю: $x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
Упростим выражение. Разложим числитель $x^2 - 6x - 7$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 6x - 7 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно -7. Корнями являются $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$. Следовательно, $x^2 - 6x - 7 = (x - 7)(x - (-1)) = (x - 7)(x + 1)$.
При условии $x \neq -1$ сократим дробь: $f(x) = \frac{(x - 7)(x + 1)}{x + 1} = x - 7$.

2. Построение графика.
Графиком функции $f(x) = x - 7$ является прямая линия. Так как исходная функция не определена в точке $x = -1$, на графике будет "выколотая" точка. Найдем ее координаты. Абсцисса $x = -1$. Ордината: $y = -1 - 7 = -8$. Значит, точка $(-1, -8)$ не принадлежит графику.
Для построения прямой $y = x - 7$ найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 0 - 7 = -7$. Получаем точку $(0, -7)$.
• Если $y = 0$, то $x - 7 = 0$, откуда $x = 7$. Получаем точку $(7, 0)$.

Графиком является прямая, проходящая через точки $(0, -7)$ и $(7, 0)$, с выколотой точкой $(-1, -8)$.

3. Свойства функции.

• Область определения: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
• Область значений: Так как $y = x - 7$ и $x \neq -1$, то $y \neq -1 - 7 = -8$. Область значений $E(f) = (-\infty; -8) \cup (-8; +\infty)$.
• Четность/нечетность: Область определения функции несимметрична относительно нуля, следовательно, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).
• Нули функции: $f(x) = 0$ при $x - 7 = 0$, то есть при $x = 7$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x - 7 > 0 \implies x > 7$. С учетом области определения: $x \in (7; +\infty)$.
  $f(x) < 0$ при $x - 7 < 0 \implies x < 7$. С учетом области определения: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 7)$.
• Промежутки монотонности: Угловой коэффициент прямой $y = x - 7$ равен $1 > 0$, значит, функция возрастает на всей области определения, т.е. на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 7$ с выколотой точкой $(-1, -8)$. Свойства функции перечислены выше.

191. При каком значении a график функции y = ax² проходит через точку:

Для того чтобы график функции $y = ax^2$ проходил через определённую точку, координаты этой точки $(x_0, y_0)$ должны удовлетворять уравнению функции. Мы можем найти искомое значение $a$, подставив координаты каждой точки в уравнение $y = ax^2$ и решив его относительно $a$.

а) Для точки с координатами $(5; -7)$ подставляем значения $x=5$ и $y=-7$ в уравнение:

$-7 = a \cdot 5^2$

$-7 = a \cdot 25$

Выражаем $a$:

$a = -\frac{7}{25}$

Ответ: $a = -\frac{7}{25}$.

б) Для точки с координатами $(-\sqrt{3}; 9)$ подставляем значения $x=-\sqrt{3}$ и $y=9$ в уравнение:

$9 = a \cdot (-\sqrt{3})^2$

$9 = a \cdot 3$

Выражаем $a$:

$a = \frac{9}{3} = 3$

Ответ: $a = 3$.

в) Для точки с координатами $(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})$ подставляем значения $x=-\frac{1}{2}$ и $y=-\frac{1}{2}$ в уравнение:

$-\frac{1}{2} = a \cdot (-\frac{1}{2})^2$

$-\frac{1}{2} = a \cdot \frac{1}{4}$

Выражаем $a$:

$a = -\frac{1}{2} \cdot 4 = -2$

Ответ: $a = -2$.

г) Для точки с координатами $(100; 10)$ подставляем значения $x=100$ и $y=10$ в уравнение:

$10 = a \cdot 100^2$

$10 = a \cdot 10000$

Выражаем $a$:

$a = \frac{10}{10000} = \frac{1}{1000}$

Ответ: $a = \frac{1}{1000}$.

192. Постройте график функции, заданной формулой y = –0,25x², где x ∈ [–6; 2]. Каковы наибольшее и наименьшее значения этой функции?

Постройте график функции, заданной формулой $y = -0,25x^2$, где $x \in [-6; 2]$.

Графиком функции $y = -0,25x^2$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -0,25 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в начале координат — точке $(0, 0)$.

Для построения графика на заданном отрезке $[-6; 2]$ найдем координаты нескольких точек, принадлежащих этому отрезку, включая его концы. Составим таблицу значений:
при $x = -6$, $y = -0,25 \cdot (-6)^2 = -0,25 \cdot 36 = -9$;
при $x = -4$, $y = -0,25 \cdot (-4)^2 = -0,25 \cdot 16 = -4$;
при $x = -2$, $y = -0,25 \cdot (-2)^2 = -0,25 \cdot 4 = -1$;
при $x = 0$, $y = -0,25 \cdot 0^2 = 0$;
при $x = 2$, $y = -0,25 \cdot 2^2 = -0,25 \cdot 4 = -1$.

Отметим на координатной плоскости точки $(-6, -9)$, $(-4, -4)$, $(-2, -1)$, $(0, 0)$ и $(2, -1)$. Соединив их плавной кривой, получим искомый график функции — дугу параболы.

Каковы наибольшее и наименьшее значения этой функции?

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке $[-6; 2]$ проанализируем её свойства на этом отрезке.

Наибольшее значение: Поскольку ветви параболы направлены вниз, ее вершина является точкой максимума. Абсцисса вершины $x = 0$ принадлежит отрезку $[-6; 2]$. Следовательно, наибольшее значение функции на данном отрезке достигается в вершине.
$y_{наиб.} = y(0) = 0$.

Наименьшее значение: Наименьшее значение на отрезке для параболы с ветвями, направленными вниз, достигается на одном из концов этого отрезка. Вычислим значения функции на концах отрезка:
На левом конце: $y(-6) = -9$.
На правом конце: $y(2) = -1$.
Сравнивая полученные значения ($-9 < -1$), заключаем, что наименьшее значение функции на отрезке равно -9. Оно достигается при $x=-6$.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $[-6; 2]$ равно 0, наименьшее значение равно -9.

193. При каких значениях a областью значений функции y = ax² является промежуток: а) [0; +∞); б) (–∞; 0]?

Данная функция $y = ax^2$ является квадратичной, её график — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$. Область значений (множество всех возможных значений $y$) зависит от направления ветвей параболы, которое, в свою очередь, определяется знаком коэффициента $a$.

а) Найдём значения $a$, при которых областью значений является промежуток $[0; +\infty)$.
Это означает, что все значения функции должны быть неотрицательными: $y \ge 0$.
Рассмотрим выражение $ax^2$. Так как $x^2$ всегда больше или равно нулю ($x^2 \ge 0$), для того чтобы произведение $ax^2$ было также больше или равно нулю, необходимо, чтобы коэффициент $a$ был положительным.
Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Её вершина $(0, 0)$ является точкой минимума. Минимальное значение функции равно $0$, а при удалении $x$ от нуля значения функции неограниченно возрастают. Таким образом, область значений действительно будет $[0; +\infty)$.
Если $a=0$, то функция превращается в $y=0$. Её область значений состоит из единственного числа $\{0\}$, что не является промежутком $[0; +\infty)$.
Следовательно, для того чтобы область значений была $[0; +\infty)$, необходимо, чтобы $a > 0$.
Ответ: $a > 0$.

б) Найдём значения $a$, при которых областью значений является промежуток $(-\infty; 0]$.
Это означает, что все значения функции должны быть неположительными: $y \le 0$.
Так как $x^2 \ge 0$, для того чтобы произведение $ax^2$ было меньше или равно нулю, необходимо, чтобы коэффициент $a$ был отрицательным.
Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Её вершина $(0, 0)$ является точкой максимума. Максимальное значение функции равно $0$, а при удалении $x$ от нуля значения функции неограниченно убывают. Таким образом, область значений будет $(-\infty; 0]$.
Как и в предыдущем случае, если $a=0$, область значений $\{0\}$ не совпадает с требуемым промежутком.
Следовательно, для того чтобы область значений была $(-\infty; 0]$, необходимо, чтобы $a < 0$.
Ответ: $a < 0$.

194. Докажите, что графики функций y = ax² и y = ax, где a ≠ 0, пересекаются в точке (1; a). В какой ещё точке пересекаются эти графики?

Докажите, что графики функций $y = ax^2$ и $y = ax$, где $a \neq 0$, пересекаются в точке $(1; a)$.
Чтобы доказать, что точка является точкой пересечения графиков двух функций, необходимо показать, что ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих функций.
Проверим точку $(1; a)$, где $x=1$ и $y=a$.
1. Подставим координаты точки в уравнение первой функции $y = ax^2$:
$a = a \cdot (1)^2$
$a = a \cdot 1$
$a = a$
Равенство верное, следовательно, точка $(1; a)$ лежит на графике функции $y = ax^2$.
2. Подставим координаты точки в уравнение второй функции $y = ax$:
$a = a \cdot 1$
$a = a$
Равенство также верное, следовательно, точка $(1; a)$ лежит на графике функции $y = ax$.
Поскольку точка $(1; a)$ принадлежит графикам обеих функций, она является их точкой пересечения, что и требовалось доказать.
Ответ: Координаты точки $(1; a)$ удовлетворяют обоим уравнениям, $a = a \cdot 1^2$ и $a = a \cdot 1$, поэтому графики пересекаются в этой точке.

В какой ещё точке пересекаются эти графики?
Для нахождения всех точек пересечения графиков приравняем выражения для $y$ из обоих уравнений:
$ax^2 = ax$
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения:
$ax^2 - ax = 0$
Вынесем общий множитель $ax$ за скобки:
$ax(x - 1) = 0$
По условию $a \neq 0$, поэтому произведение равно нулю тогда, когда один из других множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x - 1 = 0$
Решая эти уравнения, получаем две абсциссы точек пересечения:
$x_1 = 0$
$x_2 = 1$
Абсцисса $x_2 = 1$ соответствует уже известной точке пересечения $(1; a)$.
Чтобы найти вторую точку пересечения, найдём её ординату, подставив $x_1 = 0$ в любое из исходных уравнений. Например, в $y = ax$:
$y_1 = a \cdot 0 = 0$
Следовательно, вторая точка пересечения имеет координаты $(0; 0)$.
Ответ: $(0; 0)$.

195. Параболу y = 7x² сдвинули вверх на 5 единиц и влево на 8 единиц. Графиком какой функции является полученная парабола?

Чтобы найти уравнение параболы после сдвига, нужно применить правила преобразования графиков функций. Исходное уравнение параболы: $y = 7x^2$.

Общие правила преобразования для функции $y = f(x)$:

1. Сдвиг графика на $h$ единиц влево преобразует функцию к виду $y = f(x+h)$.

2. Сдвиг графика на $k$ единиц вверх преобразует функцию к виду $y = f(x) + k$.

В нашем случае даны следующие сдвиги:

• сдвиг влево на 8 единиц ($h=8$);
• сдвиг вверх на 5 единиц ($k=5$).

Применим эти преобразования последовательно к исходной функции $y = 7x^2$.

Сначала выполним сдвиг влево на 8 единиц. Для этого в исходном уравнении заменим $x$ на $(x+8)$:

$y = 7(x+8)^2$

Теперь выполним сдвиг вверх на 5 единиц. Для этого к полученной функции прибавим 5:

$y = 7(x+8)^2 + 5$

Это и есть уравнение искомой параболы. Вершина исходной параболы находилась в точке $(0, 0)$. После сдвига влево на 8 и вверх на 5, вершина новой параболы находится в точке $(-8, 5)$, что соответствует уравнению $y = a(x-x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины.

Ответ: $y = 7(x+8)^2 + 5$

196. Какие преобразования надо выполнить, чтобы:

а) из графика функции y = x³ получить графики функций y = –x³, y = (x – 3)³, y = x³ + 4;

б) из графика функции y = x получить графики функций y = – x, y = x + 5, y = x – 1?

а) Чтобы из графика функции $y = x^3$ получить графики других функций, необходимо выполнить следующие преобразования:

Для получения графика функции $y = -x^3$, который является преобразованием вида $y = -f(x)$, необходимо выполнить симметричное отражение графика $y = x^3$ относительно оси абсцисс (оси Ox).
Ответ: симметричное отражение относительно оси Ox.

Для получения графика функции $y = (x - 3)^3$, который является преобразованием вида $y = f(x - a)$ при $a=3$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика $y = x^3$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс.
Ответ: параллельный перенос на 3 единицы вправо.

Для получения графика функции $y = x^3 + 4$, который является преобразованием вида $y = f(x) + b$ при $b=4$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика $y = x^3$ на 4 единицы вверх вдоль оси ординат (оси Oy).
Ответ: параллельный перенос на 4 единицы вверх.

б) Чтобы из графика функции $y = \sqrt{x}$ получить графики других функций, необходимо выполнить следующие преобразования:

Для получения графика функции $y = -\sqrt{x}$, который является преобразованием вида $y = -f(x)$, необходимо выполнить симметричное отражение графика $y = \sqrt{x}$ относительно оси абсцисс (оси Ox).
Ответ: симметричное отражение относительно оси Ox.

Для получения графика функции $y = \sqrt{x + 5}$, который является преобразованием вида $y = f(x + a)$ при $a=5$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика $y = \sqrt{x}$ на 5 единиц влево вдоль оси абсцисс.
Ответ: параллельный перенос на 5 единиц влево.

Для получения графика функции $y = \sqrt{x} - 1$, который является преобразованием вида $y = f(x) - b$ при $b=1$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (оси Oy).
Ответ: параллельный перенос на 1 единицу вниз.

197. Постройте в одной координатной плоскости графики функций

y = |x|, y = |x – 4|, y = |x – 4| – 3.

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод последовательных геометрических преобразований, отталкиваясь от базового графика функции $y = |x|$.

$y = |x|$

График функции $y = |x|$ является стандартным. По определению модуля, $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Таким образом, график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат. Первый луч — это часть прямой $y=x$ в первой координатной четверти (для $x \ge 0$). Второй луч — это часть прямой $y=-x$ во второй координатной четверти (для $x < 0$). Для построения можно взять несколько точек: (0, 0), (1, 1), (2, 2) для первого луча и (-1, 1), (-2, 2) для второго. График имеет V-образную форму с вершиной в точке (0, 0).

Ответ: График функции $y = |x|$ — это V-образная линия, состоящая из двух лучей, выходящих из начала координат (0, 0). Один луч является биссектрисой первого координатного угла ($y=x$), другой — биссектрисой второго ($y=-x$).

$y = |x - 4|$

График функции $y = |x - 4|$ получается из графика $y = |x|$ с помощью параллельного переноса (сдвига). Преобразование вида $f(x) \to f(x-a)$ сдвигает график функции $y=f(x)$ на $a$ единиц вправо вдоль оси Ox. В нашем случае $a=4$, поэтому мы сдвигаем график $y = |x|$ на 4 единицы вправо. Вершина графика смещается из точки (0, 0) в точку (4, 0). Форма графика при этом не меняется.

Ответ: График функции $y = |x - 4|$ — это V-образная линия, которая является копией графика $y = |x|$, сдвинутой на 4 единицы вправо. Вершина графика находится в точке (4, 0).

$y = |x - 4| - 3$

График функции $y = |x - 4| - 3$ получается из графика $y = |x - 4|$ с помощью еще одного параллельного переноса. Преобразование вида $f(x) \to f(x)-b$ сдвигает график функции $y=f(x)$ на $b$ единиц вниз вдоль оси Oy. В нашем случае мы сдвигаем график $y = |x-4|$ на $b=3$ единицы вниз. Вершина графика смещается из точки (4, 0) в точку (4, -3). Для более точного построения найдем точки пересечения с осями координат. При $x=0$, $y = |0-4|-3 = 4-3=1$, то есть точка пересечения с осью Oy — (0, 1). При $y=0$, получаем уравнение $|x-4|-3=0$, или $|x-4|=3$. Это уравнение имеет два решения: $x-4=3$, откуда $x=7$, и $x-4=-3$, откуда $x=1$. Точки пересечения с осью Ox — (1, 0) и (7, 0).

Ответ: График функции $y = |x - 4| - 3$ — это V-образная линия, полученная сдвигом графика $y = |x-4|$ на 3 единицы вниз. Вершина графика находится в точке (4, -3). График пересекает ось Y в точке (0, 1) и ось X в точках (1, 0) и (7, 0).