Номер 194, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

194. Докажите, что графики функций y = ax² и y = ax, где a ≠ 0, пересекаются в точке (1; a). В какой ещё точке пересекаются эти графики?

Докажите, что графики функций $y = ax^2$ и $y = ax$, где $a \neq 0$, пересекаются в точке $(1; a)$.
Чтобы доказать, что точка является точкой пересечения графиков двух функций, необходимо показать, что ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих функций.
Проверим точку $(1; a)$, где $x=1$ и $y=a$.
1. Подставим координаты точки в уравнение первой функции $y = ax^2$:
$a = a \cdot (1)^2$
$a = a \cdot 1$
$a = a$
Равенство верное, следовательно, точка $(1; a)$ лежит на графике функции $y = ax^2$.
2. Подставим координаты точки в уравнение второй функции $y = ax$:
$a = a \cdot 1$
$a = a$
Равенство также верное, следовательно, точка $(1; a)$ лежит на графике функции $y = ax$.
Поскольку точка $(1; a)$ принадлежит графикам обеих функций, она является их точкой пересечения, что и требовалось доказать.
Ответ: Координаты точки $(1; a)$ удовлетворяют обоим уравнениям, $a = a \cdot 1^2$ и $a = a \cdot 1$, поэтому графики пересекаются в этой точке.

В какой ещё точке пересекаются эти графики?
Для нахождения всех точек пересечения графиков приравняем выражения для $y$ из обоих уравнений:
$ax^2 = ax$
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения:
$ax^2 - ax = 0$
Вынесем общий множитель $ax$ за скобки:
$ax(x - 1) = 0$
По условию $a \neq 0$, поэтому произведение равно нулю тогда, когда один из других множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x - 1 = 0$
Решая эти уравнения, получаем две абсциссы точек пересечения:
$x_1 = 0$
$x_2 = 1$
Абсцисса $x_2 = 1$ соответствует уже известной точке пересечения $(1; a)$.
Чтобы найти вторую точку пересечения, найдём её ординату, подставив $x_1 = 0$ в любое из исходных уравнений. Например, в $y = ax$:
$y_1 = a \cdot 0 = 0$
Следовательно, вторая точка пересечения имеет координаты $(0; 0)$.
Ответ: $(0; 0)$.