Номер 197, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 2. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 197, страница 69.

Условие.

197. Постройте в одной координатной плоскости графики функций

y = |x|, y = |x – 4|, y = |x – 4| – 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод последовательных геометрических преобразований, отталкиваясь от базового графика функции $y = |x|$.

$y = |x|$

График функции $y = |x|$ является стандартным. По определению модуля, $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Таким образом, график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат. Первый луч — это часть прямой $y=x$ в первой координатной четверти (для $x \ge 0$). Второй луч — это часть прямой $y=-x$ во второй координатной четверти (для $x < 0$). Для построения можно взять несколько точек: (0, 0), (1, 1), (2, 2) для первого луча и (-1, 1), (-2, 2) для второго. График имеет V-образную форму с вершиной в точке (0, 0).

Ответ: График функции $y = |x|$ — это V-образная линия, состоящая из двух лучей, выходящих из начала координат (0, 0). Один луч является биссектрисой первого координатного угла ($y=x$), другой — биссектрисой второго ($y=-x$).

$y = |x - 4|$

График функции $y = |x - 4|$ получается из графика $y = |x|$ с помощью параллельного переноса (сдвига). Преобразование вида $f(x) \to f(x-a)$ сдвигает график функции $y=f(x)$ на $a$ единиц вправо вдоль оси Ox. В нашем случае $a=4$, поэтому мы сдвигаем график $y = |x|$ на 4 единицы вправо. Вершина графика смещается из точки (0, 0) в точку (4, 0). Форма графика при этом не меняется.

Ответ: График функции $y = |x - 4|$ — это V-образная линия, которая является копией графика $y = |x|$, сдвинутой на 4 единицы вправо. Вершина графика находится в точке (4, 0).

$y = |x - 4| - 3$

График функции $y = |x - 4| - 3$ получается из графика $y = |x - 4|$ с помощью еще одного параллельного переноса. Преобразование вида $f(x) \to f(x)-b$ сдвигает график функции $y=f(x)$ на $b$ единиц вниз вдоль оси Oy. В нашем случае мы сдвигаем график $y = |x-4|$ на $b=3$ единицы вниз. Вершина графика смещается из точки (4, 0) в точку (4, -3). Для более точного построения найдем точки пересечения с осями координат. При $x=0$, $y = |0-4|-3 = 4-3=1$, то есть точка пересечения с осью Oy — (0, 1). При $y=0$, получаем уравнение $|x-4|-3=0$, или $|x-4|=3$. Это уравнение имеет два решения: $x-4=3$, откуда $x=7$, и $x-4=-3$, откуда $x=1$. Точки пересечения с осью Ox — (1, 0) и (7, 0).

Ответ: График функции $y = |x - 4| - 3$ — это V-образная линия, полученная сдвигом графика $y = |x-4|$ на 3 единицы вниз. Вершина графика находится в точке (4, -3). График пересекает ось Y в точке (0, 1) и ось X в точках (1, 0) и (7, 0).