Номер 203, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 2. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 203, страница 70.

Условие.

203. При каких значениях a и с квадратичная функция y = ax² + c имеет нули?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули квадратичной функции $y = ax^2 + c$, необходимо решить уравнение $ax^2 + c = 0$.

По определению, функция является квадратичной, если старший коэффициент не равен нулю, то есть $a \neq 0$.

Решим уравнение относительно $x$:

$ax^2 + c = 0$

$ax^2 = -c$

Поскольку $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$x^2 = -\frac{c}{a}$

Это уравнение имеет действительные решения для $x$ только в том случае, если выражение в правой части неотрицательно (больше или равно нулю), так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Таким образом, должно выполняться условие:

$-\frac{c}{a} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\frac{c}{a} \le 0$

Это неравенство выполняется в двух случаях:

1. Если числитель $c = 0$. Тогда $\frac{0}{a} = 0$, и неравенство $0 \le 0$ выполняется при любом $a \neq 0$. В этом случае уравнение принимает вид $ax^2=0$, откуда $x=0$. Функция имеет один нуль.

2. Если числитель $c \neq 0$. Тогда дробь $\frac{c}{a}$ будет отрицательной, если числитель и знаменатель имеют разные знаки. Это означает, что:

• либо $a > 0$ и $c < 0$;
• либо $a < 0$ и $c > 0$.

В этих случаях функция имеет два различных нуля: $x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Все эти условия ( $c=0$, или $a$ и $c$ имеют разные знаки) можно объединить в одно: произведение $a \cdot c$ должно быть меньше или равно нулю.

$ac \le 0$

Таким образом, с учётом обязательного условия $a \neq 0$, квадратичная функция $y = ax^2 + c$ имеет нули, если ее коэффициенты $a$ и $c$ удовлетворяют следующим условиям.

Ответ: Квадратичная функция $y = ax^2 + c$ имеет нули при $a \neq 0$ и $ac \le 0$. Это равносильно двум случаям:
1) $a > 0$ и $c \le 0$;
2) $a < 0$ и $c \ge 0$.