Номер 207, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

207. Пусть h (м) — высота, на которой находится брошенный с земли вверх мяч, t (с) — время полёта мяча. Зависимость h от t выражается формулой h = 24t – 4,9t². Какой наибольшей высоты достиг мяч? В какой промежуток времени он поднимался и в какой опускался? Через сколько секунд после броска он упал на землю?

Какой наибольшей высоты достиг мяч?

Зависимость высоты $h$ (в метрах) от времени $t$ (в секундах) задана формулой $h(t) = 24t - 4.9t^2$. Эта функция является квадратичной, а её график — парабола. Поскольку коэффициент при $t^2$ отрицательный ($-4.9$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что у функции есть максимальное значение, которое достигается в вершине параболы. Это значение и есть наибольшая высота, которой достигнет мяч.

Сначала найдём время $t_{верш}$, в которое мяч достигнет максимальной высоты. Координата $t$ вершины параболы вида $at^2+bt+c$ вычисляется по формуле $t_{верш} = -b/(2a)$. В нашем случае, $a = -4.9$ и $b = 24$.

$t_{верш} = \frac{-24}{2 \cdot (-4.9)} = \frac{-24}{-9.8} = \frac{24}{9.8} = \frac{240}{98} = \frac{120}{49}$ c.

Теперь, зная время подъёма, мы можем вычислить максимальную высоту $h_{max}$, подставив значение $t_{верш}$ в исходную формулу:

$h_{max} = h(\frac{120}{49}) = 24 \cdot \frac{120}{49} - 4.9 \cdot (\frac{120}{49})^2$
$h_{max} = \frac{2880}{49} - \frac{49}{10} \cdot \frac{14400}{49^2} = \frac{2880}{49} - \frac{14400}{10 \cdot 49}$
$h_{max} = \frac{2880}{49} - \frac{1440}{49} = \frac{2880 - 1440}{49} = \frac{1440}{49}$ м.

Приближенное значение максимальной высоты: $h_{max} \approx 29.39$ м.

Ответ: наибольшая высота, которой достиг мяч, равна $\frac{1440}{49}$ м (примерно 29,39 м).

В какой промежуток времени он поднимался и в какой опускался?

Мяч поднимается вверх с момента броска ($t=0$) до момента достижения максимальной высоты. Как мы вычислили ранее, время подъёма составляет $t_{верш} = \frac{120}{49}$ с. Таким образом, мяч поднимался в промежутке времени от $0$ до $\frac{120}{49}$ с.

Мяч начинает опускаться после достижения максимальной высоты и продолжает падение до момента приземления. Чтобы определить этот промежуток, нам нужно знать общее время полёта. Мяч упадёт на землю, когда его высота $h$ снова станет равна нулю.

$h(t) = 24t - 4.9t^2 = 0$
$t(24 - 4.9t) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $t_1 = 0$ (момент броска) и $t_2$, которое находится из уравнения $24 - 4.9t = 0$.
$4.9t = 24 \implies t_2 = \frac{24}{4.9} = \frac{240}{49}$ с.

Это полное время полёта мяча. Следовательно, мяч опускался с момента достижения вершины ($t = \frac{120}{49}$ с) до момента падения на землю ($t = \frac{240}{49}$ с).

Ответ: мяч поднимался в промежутке времени $(0; \frac{120}{49})$ с и опускался в промежутке $(\frac{120}{49}; \frac{240}{49})$ с.

Через сколько секунд после броска он упал на землю?

Мяч упал на землю в момент времени $t > 0$, когда его высота $h$ стала равна нулю. Как было показано в решении предыдущего вопроса, для нахождения этого времени нужно решить уравнение $h(t) = 0$.

$24t - 4.9t^2 = 0$
$t(24 - 4.9t) = 0$

Один корень $t_1 = 0$ соответствует началу движения. Второй корень $t_2$ дает время, когда мяч снова оказался на земле:

$24 - 4.9t = 0$
$4.9t = 24$
$t = \frac{24}{4.9} = \frac{240}{49}$ c.

Приближенное значение времени полёта: $t \approx 4.90$ с.

Ответ: мяч упал на землю через $\frac{240}{49}$ секунд (примерно через 4,90 с) после броска.