Номер 211, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

211. Решите уравнение:

а) $(8x - 1)(2x - 3) - (4x - 1)^2 = 38$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Первое слагаемое — это произведение двух многочленов, а второе — квадрат разности, который раскрывается по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(8x \cdot 2x - 8x \cdot 3 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot (-3)) - ((4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2) = 38$

$(16x^2 - 24x - 2x + 3) - (16x^2 - 8x + 1) = 38$

Упростим выражение в первых скобках и раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные.

$16x^2 - 26x + 3 - 16x^2 + 8x - 1 = 38$

Приведем подобные слагаемые:

$(16x^2 - 16x^2) + (-26x + 8x) + (3 - 1) = 38$

$-18x + 2 = 38$

Перенесем 2 в правую часть уравнения:

$-18x = 38 - 2$

$-18x = 36$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на -18:

$x = \frac{36}{-18}$

$x = -2$

Ответ: $-2$

б) $\frac{(15x - 1)(1 + 15x)}{3} = 2\frac{2}{3}$

Преобразуем обе части уравнения. В числителе левой части воспользуемся формулой разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Смешанное число в правой части переведем в неправильную дробь.

$(15x - 1)(1 + 15x) = (15x)^2 - 1^2 = 225x^2 - 1$

$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$

Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:

$\frac{225x^2 - 1}{3} = \frac{8}{3}$

Так как знаменатели в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять числители (или умножить обе части на 3):

$225x^2 - 1 = 8$

Перенесем -1 в правую часть:

$225x^2 = 8 + 1$

$225x^2 = 9$

Выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{9}{225}$

Сократим дробь:

$x^2 = \frac{1}{25}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Не забываем, что корень может быть как положительным, так и отрицательным.

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{25}}$

$x = \pm\frac{1}{5}$

Ответ: $\pm\frac{1}{5}$

в) $0,5y^3 - 0,5y(y + 1)(y - 3) = 7$

Сначала раскроем скобки $(y + 1)(y - 3)$:

$(y + 1)(y - 3) = y^2 - 3y + y - 3 = y^2 - 2y - 3$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$0,5y^3 - 0,5y(y^2 - 2y - 3) = 7$

Теперь умножим $-0,5y$ на многочлен в скобках:

$0,5y^3 - (0,5y \cdot y^2 - 0,5y \cdot 2y - 0,5y \cdot 3) = 7$

$0,5y^3 - (0,5y^3 - y^2 - 1,5y) = 7$

Раскроем скобки, изменив знаки:

$0,5y^3 - 0,5y^3 + y^2 + 1,5y = 7$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 1,5y = 7$

Получилось квадратное уравнение. Перенесем все слагаемые в левую часть:

$y^2 + 1,5y - 7 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 2:

$2y^2 + 3y - 14 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 - (-112) = 9 + 112 = 121$

$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$

Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3,5$

Ответ: $2$; $-3,5$

г) $x^4 \cdot x^2 = \frac{(1 + 2x^2)(2x^2 - 1)}{4}$

Упростим левую часть уравнения, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^4 \cdot x^2 = x^{4+2} = x^6$

Упростим правую часть. В числителе видим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=2x^2$ и $b=1$.

$\frac{(2x^2 + 1)(2x^2 - 1)}{4} = \frac{(2x^2)^2 - 1^2}{4} = \frac{4x^4 - 1}{4}$

Получаем уравнение:

$x^6 = \frac{4x^4 - 1}{4}$

Умножим обе части на 4:

$4x^6 = 4x^4 - 1$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$4x^6 - 4x^4 + 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$4t^3 - 4t^2 + 1 = 0$

Перепишем уравнение в виде $1 = 4t^2 - 4t^3$, или $1 = 4t^2(1 - t)$.

Так как левая часть равна 1 (положительное число) и $4t^2 \ge 0$, то для существования решения необходимо, чтобы $1 - t > 0$, то есть $t < 1$. Таким образом, мы ищем решение для $t$ в интервале $0 < t < 1$.

Исследуем максимальное значение выражения $4t^2(1 - t)$ при $0 < t < 1$. Воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Рассмотрим три положительных числа: $2t$, $2t$ и $1-t$. Их сумма равна $2t+2t+(1-t) = 1+t$ - это не константа. Попробуем иначе. Рассмотрим числа $t, t, 2(1-t)$. Их сумма $t+t+2-2t=2$.

По неравенству Коши для трех чисел: $\sqrt[3]{a \cdot b \cdot c} \le \frac{a+b+c}{3}$.

$\sqrt[3]{t \cdot t \cdot 2(1 - t)} \le \frac{t + t + 2(1 - t)}{3} = \frac{2}{3}$

Возведем обе части в куб:

$2t^2(1 - t) \le (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

Разделим на 2:

$t^2(1 - t) \le \frac{4}{27}$

Умножим на 4:

$4t^2(1 - t) \le \frac{16}{27}$

Это означает, что максимальное значение выражения $4t^2(1 - t)$ равно $\frac{16}{27}$.

Наше уравнение требует, чтобы это выражение было равно 1: $4t^2(1 - t) = 1$.

Но мы показали, что $4t^2(1 - t) \le \frac{16}{27}$. Так как $\frac{16}{27} < 1$, равенство невозможно ни при каком действительном значении $t$.

Следовательно, уравнение для $t$ не имеет действительных решений, а значит, и исходное уравнение для $x$ не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней