Страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

211. Решите уравнение:

а) $(8x - 1)(2x - 3) - (4x - 1)^2 = 38$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Первое слагаемое — это произведение двух многочленов, а второе — квадрат разности, который раскрывается по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(8x \cdot 2x - 8x \cdot 3 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot (-3)) - ((4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2) = 38$

$(16x^2 - 24x - 2x + 3) - (16x^2 - 8x + 1) = 38$

Упростим выражение в первых скобках и раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные.

$16x^2 - 26x + 3 - 16x^2 + 8x - 1 = 38$

Приведем подобные слагаемые:

$(16x^2 - 16x^2) + (-26x + 8x) + (3 - 1) = 38$

$-18x + 2 = 38$

Перенесем 2 в правую часть уравнения:

$-18x = 38 - 2$

$-18x = 36$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на -18:

$x = \frac{36}{-18}$

$x = -2$

Ответ: $-2$

б) $\frac{(15x - 1)(1 + 15x)}{3} = 2\frac{2}{3}$

Преобразуем обе части уравнения. В числителе левой части воспользуемся формулой разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Смешанное число в правой части переведем в неправильную дробь.

$(15x - 1)(1 + 15x) = (15x)^2 - 1^2 = 225x^2 - 1$

$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$

Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:

$\frac{225x^2 - 1}{3} = \frac{8}{3}$

Так как знаменатели в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять числители (или умножить обе части на 3):

$225x^2 - 1 = 8$

Перенесем -1 в правую часть:

$225x^2 = 8 + 1$

$225x^2 = 9$

Выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{9}{225}$

Сократим дробь:

$x^2 = \frac{1}{25}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Не забываем, что корень может быть как положительным, так и отрицательным.

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{25}}$

$x = \pm\frac{1}{5}$

Ответ: $\pm\frac{1}{5}$

в) $0,5y^3 - 0,5y(y + 1)(y - 3) = 7$

Сначала раскроем скобки $(y + 1)(y - 3)$:

$(y + 1)(y - 3) = y^2 - 3y + y - 3 = y^2 - 2y - 3$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$0,5y^3 - 0,5y(y^2 - 2y - 3) = 7$

Теперь умножим $-0,5y$ на многочлен в скобках:

$0,5y^3 - (0,5y \cdot y^2 - 0,5y \cdot 2y - 0,5y \cdot 3) = 7$

$0,5y^3 - (0,5y^3 - y^2 - 1,5y) = 7$

Раскроем скобки, изменив знаки:

$0,5y^3 - 0,5y^3 + y^2 + 1,5y = 7$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 1,5y = 7$

Получилось квадратное уравнение. Перенесем все слагаемые в левую часть:

$y^2 + 1,5y - 7 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 2:

$2y^2 + 3y - 14 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 - (-112) = 9 + 112 = 121$

$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$

Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3,5$

Ответ: $2$; $-3,5$

г) $x^4 \cdot x^2 = \frac{(1 + 2x^2)(2x^2 - 1)}{4}$

Упростим левую часть уравнения, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^4 \cdot x^2 = x^{4+2} = x^6$

Упростим правую часть. В числителе видим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=2x^2$ и $b=1$.

$\frac{(2x^2 + 1)(2x^2 - 1)}{4} = \frac{(2x^2)^2 - 1^2}{4} = \frac{4x^4 - 1}{4}$

Получаем уравнение:

$x^6 = \frac{4x^4 - 1}{4}$

Умножим обе части на 4:

$4x^6 = 4x^4 - 1$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$4x^6 - 4x^4 + 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$4t^3 - 4t^2 + 1 = 0$

Перепишем уравнение в виде $1 = 4t^2 - 4t^3$, или $1 = 4t^2(1 - t)$.

Так как левая часть равна 1 (положительное число) и $4t^2 \ge 0$, то для существования решения необходимо, чтобы $1 - t > 0$, то есть $t < 1$. Таким образом, мы ищем решение для $t$ в интервале $0 < t < 1$.

Исследуем максимальное значение выражения $4t^2(1 - t)$ при $0 < t < 1$. Воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Рассмотрим три положительных числа: $2t$, $2t$ и $1-t$. Их сумма равна $2t+2t+(1-t) = 1+t$ - это не константа. Попробуем иначе. Рассмотрим числа $t, t, 2(1-t)$. Их сумма $t+t+2-2t=2$.

По неравенству Коши для трех чисел: $\sqrt[3]{a \cdot b \cdot c} \le \frac{a+b+c}{3}$.

$\sqrt[3]{t \cdot t \cdot 2(1 - t)} \le \frac{t + t + 2(1 - t)}{3} = \frac{2}{3}$

Возведем обе части в куб:

$2t^2(1 - t) \le (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

Разделим на 2:

$t^2(1 - t) \le \frac{4}{27}$

Умножим на 4:

$4t^2(1 - t) \le \frac{16}{27}$

Это означает, что максимальное значение выражения $4t^2(1 - t)$ равно $\frac{16}{27}$.

Наше уравнение требует, чтобы это выражение было равно 1: $4t^2(1 - t) = 1$.

Но мы показали, что $4t^2(1 - t) \le \frac{16}{27}$. Так как $\frac{16}{27} < 1$, равенство невозможно ни при каком действительном значении $t$.

Следовательно, уравнение для $t$ не имеет действительных решений, а значит, и исходное уравнение для $x$ не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней

212. Решите уравнение:

а) $(6 - x)(x + 6) - (x - 11)x = 36$

Раскроем скобки. Первое произведение представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(6^2 - x^2) - (x \cdot x - 11 \cdot x) = 36$

$36 - x^2 - (x^2 - 11x) = 36$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные.

$36 - x^2 - x^2 + 11x = 36$

Приведем подобные слагаемые.

$-2x^2 + 11x + 36 = 36$

Перенесем 36 из правой части в левую с противоположным знаком.

$-2x^2 + 11x + 36 - 36 = 0$

$-2x^2 + 11x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

$x(-2x + 11) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

$x_1 = 0$ или $-2x + 11 = 0$

Решим второе уравнение:

$-2x = -11$

$x_2 = \frac{-11}{-2} = 5.5$

Ответ: $0; 5.5$

б) $9x^2 - \frac{(12x - 11)(3x + 8)}{4} = 1$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя.

$4 \cdot 9x^2 - (12x - 11)(3x + 8) = 4 \cdot 1$

$36x^2 - (12x \cdot 3x + 12x \cdot 8 - 11 \cdot 3x - 11 \cdot 8) = 4$

$36x^2 - (36x^2 + 96x - 33x - 88) = 4$

$36x^2 - (36x^2 + 63x - 88) = 4$

Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные.

$36x^2 - 36x^2 - 63x + 88 = 4$

Приведем подобные слагаемые.

$-63x + 88 = 4$

Перенесем 88 в правую часть уравнения.

$-63x = 4 - 88$

$-63x = -84$

$x = \frac{-84}{-63} = \frac{84}{63}$

Сократим дробь на 21.

$x = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

в) $\frac{1 - 3y}{11} - \frac{3 - y}{5} = 0$

Перенесем вторую дробь в правую часть уравнения.

$\frac{1 - 3y}{11} = \frac{3 - y}{5}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение).

$5(1 - 3y) = 11(3 - y)$

Раскроем скобки.

$5 - 15y = 33 - 11y$

Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а числа в правую.

$-15y + 11y = 33 - 5$

$-4y = 28$

$y = \frac{28}{-4}$

$y = -7$

Ответ: $-7$

г) $\frac{(y + 1)^2}{12} - \frac{1 - y^2}{24} = 4$

Приведем дроби к общему знаменателю 24.

$\frac{2(y + 1)^2}{24} - \frac{1 - y^2}{24} = 4$

$\frac{2(y + 1)^2 - (1 - y^2)}{24} = 4$

Умножим обе части уравнения на 24.

$2(y + 1)^2 - (1 - y^2) = 96$

Раскроем скобки. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$2(y^2 + 2y + 1) - 1 + y^2 = 96$

$2y^2 + 4y + 2 - 1 + y^2 = 96$

Приведем подобные слагаемые.

$3y^2 + 4y + 1 = 96$

Перенесем 96 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение.

$3y^2 + 4y + 1 - 96 = 0$

$3y^2 + 4y - 95 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-95) = 16 + 12 \cdot 95 = 16 + 1140 = 1156$

$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$

Найдем корни уравнения по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$y_1 = \frac{-4 + 34}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$

$y_2 = \frac{-4 - 34}{2 \cdot 3} = \frac{-38}{6} = -\frac{19}{3}$

Ответ: $5; -\frac{19}{3}$

213. Докажите, что уравнение 5x⁶ + 6x⁴ + x² + 4 = 0 не имеет корней.

Для того чтобы доказать, что уравнение $5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4 = 0$ не имеет корней, проанализируем его левую часть.

Обратим внимание, что все слагаемые, содержащие переменную $x$, имеют четные степени: $x^6$, $x^4$, $x^2$. Для любого действительного числа $x$ значение выражения в четной степени всегда является неотрицательным (то есть больше или равно нулю).

Рассмотрим каждое слагаемое в отдельности:

1. $x^6 \ge 0$. Так как коэффициент 5 положителен, то и слагаемое $5x^6 \ge 0$.

2. $x^4 \ge 0$. Так как коэффициент 6 положителен, то и слагаемое $6x^4 \ge 0$.

3. $x^2 \ge 0$.

4. Слагаемое 4 является положительной константой.

Теперь сложим все слагаемые левой части уравнения. Сумма трех неотрицательных слагаемых ($5x^6$, $6x^4$, $x^2$) также будет неотрицательной:

$5x^6 + 6x^4 + x^2 \ge 0$

Прибавив к этой сумме положительное число 4, мы получим выражение, которое всегда будет строго положительным. Точнее, мы можем оценить его минимальное значение:

$(5x^6 + 6x^4 + x^2) + 4 \ge 0 + 4$

$5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4 \ge 4$

Таким образом, левая часть уравнения при любом действительном значении $x$ всегда больше или равна 4. Это означает, что она никогда не может быть равна нулю.

Следовательно, уравнение $5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4 = 0$ не имеет действительных корней, что и требовалось доказать.

Ответ: Уравнение не имеет корней, так как левая часть уравнения $5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4$ для любого действительного значения $x$ представляет собой сумму трех неотрицательных слагаемых и положительного числа 4, поэтому ее значение всегда больше или равно 4 и не может равняться нулю.

214. Может ли отрицательное число быть корнем уравнения

12x⁵ + 7x³ + 11x – 3 = 121?

Для того чтобы определить, может ли отрицательное число быть корнем данного уравнения, проанализируем знаки его частей.

Исходное уравнение:

$12x^5 + 7x^3 + 11x - 3 = 121$

Перенесем константу $-3$ в правую часть уравнения, чтобы сгруппировать все члены с переменной $x$ в левой части:

$12x^5 + 7x^3 + 11x = 121 + 3$

$12x^5 + 7x^3 + 11x = 124$

Теперь предположим, что $x$ является отрицательным числом, то есть $x < 0$. Рассмотрим левую часть уравнения $12x^5 + 7x^3 + 11x$ и оценим знак каждого ее слагаемого при $x < 0$.

• Слагаемое $12x^5$: Так как $x$ — отрицательное число, его нечетная степень $x^5$ также будет отрицательным числом ($x^5 < 0$). Произведение положительного коэффициента 12 на отрицательное значение $x^5$ даст отрицательный результат: $12x^5 < 0$.

• Слагаемое $7x^3$: Аналогично, нечетная степень $x^3$ отрицательного числа $x$ будет отрицательной ($x^3 < 0$). Произведение положительного коэффициента 7 на $x^3$ также будет отрицательным: $7x^3 < 0$.

• Слагаемое $11x$: Произведение положительного коэффициента 11 на отрицательное число $x$ будет отрицательным: $11x < 0$.

Таким образом, левая часть уравнения представляет собой сумму трех отрицательных слагаемых. Сумма отрицательных чисел всегда является отрицательным числом. Следовательно, при любом $x < 0$ вся левая часть уравнения будет отрицательной:

$12x^5 + 7x^3 + 11x < 0$

В то же время, правая часть уравнения равна 124 — это положительное число.

Мы получаем, что для любого отрицательного $x$ левая часть уравнения всегда отрицательна, а правая всегда положительна. Отрицательное число не может равняться положительному, поэтому равенство $12x^5 + 7x^3 + 11x = 124$ не может быть верным при $x < 0$.

Ответ: Нет, отрицательное число не может быть корнем данного уравнения.

215. Если ребро куба увеличить на 3 см, то его объём увеличится на 513 см³. Чему равно ребро куба?

Пусть первоначальная длина ребра куба равна $a$ см. Тогда его объём $V_1$ составляет $a^3$ см?.

Согласно условию, ребро куба увеличили на 3 см. Новая длина ребра стала $(a + 3)$ см.

Объём нового куба $V_2$ равен $(a + 3)^3$ см?.

Разница между новым и первоначальным объёмом составляет 513 см?. На основе этого можно составить уравнение:

$V_2 - V_1 = 513$

$(a + 3)^3 - a^3 = 513$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$(a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 + 3^3) - a^3 = 513$

$a^3 + 9a^2 + 27a + 27 - a^3 = 513$

Упростим выражение, сократив $a^3$ и $-a^3$:

$9a^2 + 27a + 27 = 513$

Перенесём 513 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$9a^2 + 27a + 27 - 513 = 0$

$9a^2 + 27a - 486 = 0$

Все коэффициенты этого уравнения делятся на 9. Разделим обе части уравнения на 9 для его упрощения:

$a^2 + 3a - 54 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета или формулой для нахождения корней через дискриминант. По теореме Виета, нам нужны два числа, произведение которых равно -54, а сумма равна -3. Эти числа — 6 и -9.

Следовательно, корни уравнения: $a_1 = 6$ и $a_2 = -9$.

Так как длина ребра куба не может быть отрицательной величиной, корень $a_2 = -9$ не является решением задачи. Значит, длина ребра исходного куба равна 6 см.

Проверим найденное решение:

Первоначальный объём куба с ребром 6 см: $V_1 = 6^3 = 216$ см?.

Новое ребро: $6 + 3 = 9$ см.

Новый объём: $V_2 = 9^3 = 729$ см?.

Увеличение объёма: $V_2 - V_1 = 729 - 216 = 513$ см?.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 6 см.

216. Первое число на 5 больше второго, а его куб на 3185 больше куба второго. Найдите эти числа.

Обозначим второе число переменной $x$.

Согласно условию задачи, первое число на 5 больше второго, следовательно, его можно выразить как $x + 5$.

Также из условия известно, что куб первого числа на 3185 больше куба второго. Составим уравнение на основе этого условия:

$(x + 5)^3 = x^3 + 3185$

Для решения уравнения раскроем скобки в левой части, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(x + 5)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 5 + 3 \cdot x \cdot 5^2 + 5^3 = x^3 + 15x^2 + 75x + 125$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:

$x^3 + 15x^2 + 75x + 125 = x^3 + 3185$

Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$15x^2 + 75x + 125 - 3185 = 0$

$15x^2 + 75x - 3060 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на их общий делитель 15:

$x^2 + 5x - 204 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-204) = 25 + 816 = 841$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{841}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 29}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{841}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 29}{2} = \frac{-34}{2} = -17$

Мы получили два возможных значения для второго числа, $x$. Следовательно, существуют две пары чисел, удовлетворяющие условию.

Если второе число равно 12, то первое число равно $12 + 5 = 17$.
Проверка: $17^3 - 12^3 = 4913 - 1728 = 3185$.

Если второе число равно -17, то первое число равно $-17 + 5 = -12$.
Проверка: $(-12)^3 - (-17)^3 = -1728 - (-4913) = -1728 + 4913 = 3185$.

Обе пары чисел являются решением задачи.

Ответ: 17 и 12, или -12 и -17.

217. Решите уравнение:

а) $y^3 - 6y = 0$

Вынесем общий множитель y за скобки:

$y(y^2 - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1) $y = 0$

2) $y^2 - 6 = 0 \Rightarrow y^2 = 6 \Rightarrow y = \pm\sqrt{6}$

Ответ: $-\sqrt{6}; 0; \sqrt{6}$.

б) $6x^4 + 3,6x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(6x^2 + 3,6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$

2) $6x^2 + 3,6 = 0 \Rightarrow 6x^2 = -3,6 \Rightarrow x^2 = -0,6$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, у уравнения только один корень.

Ответ: $0$.

в) $x^3 + 3x = 3,5x^2$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^3 - 3,5x^2 + 3x = 0$

Вынесем общий множитель x за скобки:

$x(x^2 - 3,5x + 3) = 0$

Отсюда либо $x=0$, либо $x^2 - 3,5x + 3 = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 - 3,5x + 3 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 12,25 - 12 = 0,25$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3,5 \pm \sqrt{0,25}}{2} = \frac{3,5 \pm 0,5}{2}$

$x_1 = \frac{3,5 - 0,5}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$

$x_2 = \frac{3,5 + 0,5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $0; 1,5; 2$.

г) $x^3 - 0,1x = 0,3x^2$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^3 - 0,3x^2 - 0,1x = 0$

Вынесем общий множитель x за скобки:

$x(x^2 - 0,3x - 0,1) = 0$

Отсюда либо $x=0$, либо $x^2 - 0,3x - 0,1 = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 - 0,3x - 0,1 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-0,3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0,1) = 0,09 + 0,4 = 0,49$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{0,3 \pm \sqrt{0,49}}{2} = \frac{0,3 \pm 0,7}{2}$

$x_1 = \frac{0,3 - 0,7}{2} = \frac{-0,4}{2} = -0,2$

$x_2 = \frac{0,3 + 0,7}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: $-0,2; 0; 0,5$.

д) $9x^3 - 18x^2 - x + 2 = 0$

Сгруппируем члены уравнения для разложения на множители:

$(9x^3 - 18x^2) + (-x + 2) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$9x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(9x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

2) $9x^2 - 1 = 0 \Rightarrow 9x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; 2$.

е) $y^4 - y^3 - 16y^2 + 16y = 0$

Вынесем общий множитель y за скобки:

$y(y^3 - y^2 - 16y + 16) = 0$

Один корень $y_1 = 0$. Решим уравнение $y^3 - y^2 - 16y + 16 = 0$.

Сгруппируем члены:

$(y^3 - y^2) - (16y - 16) = 0$

$y^2(y - 1) - 16(y - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(y - 1)$:

$(y - 1)(y^2 - 16) = 0$

1) $y - 1 = 0 \Rightarrow y_2 = 1$

2) $y^2 - 16 = 0 \Rightarrow y^2 = 16 \Rightarrow y = \pm4$. Отсюда $y_3 = 4$ и $y_4 = -4$.

Ответ: $-4; 0; 1; 4$.

ж) $p^3 - p^2 = p - 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$p^3 - p^2 - p + 1 = 0$

Сгруппируем члены:

$(p^3 - p^2) - (p - 1) = 0$

$p^2(p - 1) - 1(p - 1) = 0$

$(p - 1)(p^2 - 1) = 0$

Разложим второй множитель по формуле разности квадратов:

$(p - 1)(p - 1)(p + 1) = 0$

$(p - 1)^2(p + 1) = 0$

1) $p - 1 = 0 \Rightarrow p = 1$

2) $p + 1 = 0 \Rightarrow p = -1$

Ответ: $-1; 1$.

з) $x^4 - x^2 = 3x^3 - 3x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^4 - 3x^3 - x^2 + 3x = 0$

Вынесем общий множитель x за скобки:

$x(x^3 - 3x^2 - x + 3) = 0$

Один корень $x_1 = 0$. Решим уравнение $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$.

Сгруппируем члены:

$(x^3 - 3x^2) - (x - 3) = 0$

$x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0$

$(x - 3)(x^2 - 1) = 0$

1) $x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

2) $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1$. Отсюда $x_3 = 1$ и $x_4 = -1$.

Ответ: $-1; 0; 1; 3$.

218. Решите уравнение:

а) 3x³ – x² + 18x – 6 = 0;

б) 2x⁴ – 18x² = 5x³ – 45x.

а) $3x^3 - x^2 + 18x - 6 = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(3x^3 - x^2) + (18x - 6) = 0$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. Из первой скобки вынесем $x^2$, а из второй — $6$:

$x^2(3x - 1) + 6(3x - 1) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(3x - 1)$, который также можно вынести за скобки:

$(3x - 1)(x^2 + 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $3x - 1 = 0$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

2) $x^2 + 6 = 0$

$x^2 = -6$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

б) $2x^4 - 18x^2 = 5x^3 - 45x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$2x^4 - 5x^3 - 18x^2 + 45x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x^3 - 5x^2 - 18x + 45) = 0$

Это дает нам первый корень $x_1 = 0$.

Теперь решим кубическое уравнение, оставшееся в скобках:

$2x^3 - 5x^2 - 18x + 45 = 0$

Применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(2x^3 - 5x^2) - (18x - 45) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой скобки вынесем $x^2$, а из второй — $9$:

$x^2(2x - 5) - 9(2x - 5) = 0$

Вынесем общий множитель $(2x - 5)$ за скобки:

$(2x - 5)(x^2 - 9) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Множитель $(x^2 - 9)$ является разностью квадратов и раскладывается на $(x - 3)(x + 3)$. Таким образом, уравнение принимает вид:

$(2x - 5)(x - 3)(x + 3) = 0$

Приравнивая каждый множитель к нулю, находим остальные корни:

1) $2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x_2 = \frac{5}{2} = 2.5$

2) $x - 3 = 0 \implies x_3 = 3$

3) $x + 3 = 0 \implies x_4 = -3$

Собрав все найденные корни, получаем полный набор решений исходного уравнения.

Ответ: $-3; 0; 2.5; 3$.

219. Решите уравнение:

а) x³ + 7x² – 6 = 0;

б) x³ + 4x² – 5 = 0.

а) $x^3 + 7x^2 - 6 = 0$

Это кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Попробуем найти целый корень среди делителей свободного члена, равного -6. Делителями числа -6 являются: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Подставим $x = -1$ в уравнение:

$(-1)^3 + 7(-1)^2 - 6 = -1 + 7(1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$.

Поскольку $x = -1$ является корнем уравнения, многочлен $x^3 + 7x^2 - 6$ делится нацело на двучлен $(x - (-1))$, то есть на $(x + 1)$. Выполним разложение на множители методом группировки:

$x^3 + 7x^2 - 6 = x^3 + x^2 + 6x^2 + 6x - 6x - 6 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + x^2) + (6x^2 + 6x) - (6x + 6) = 0$

Вынесем общие множители за скобки:

$x^2(x+1) + 6x(x+1) - 6(x+1) = 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x+1)$:

$(x+1)(x^2 + 6x - 6) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$.

2) $x^2 + 6x - 6 = 0$.

Это квадратное уравнение, решим его с помощью формулы для корней через дискриминант.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 36 + 24 = 60$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$\sqrt{D} = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$.

Найдем корни:

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -3 \pm \sqrt{15}$.

$x_2 = -3 + \sqrt{15}$, $x_3 = -3 - \sqrt{15}$.

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = -3 + \sqrt{15}$, $x_3 = -3 - \sqrt{15}$.

б) $x^3 + 4x^2 - 5 = 0$

Найдем целый корень этого кубического уравнения среди делителей свободного члена -5. Делителями являются: $\pm1, \pm5$.

Подставим $x = 1$ в уравнение:

$1^3 + 4(1)^2 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$.

Так как $x = 1$ является корнем, многочлен $x^3 + 4x^2 - 5$ делится на $(x - 1)$. Разложим его на множители:

$x^3 + 4x^2 - 5 = x^3 - x^2 + 5x^2 - 5x + 5x - 5 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - x^2) + (5x^2 - 5x) + (5x - 5) = 0$

Вынесем общие множители за скобки:

$x^2(x-1) + 5x(x-1) + 5(x-1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-1)$:

$(x-1)(x^2 + 5x + 5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$.

2) $x^2 + 5x + 5 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$\sqrt{D} = \sqrt{5}$.

Найдем корни:

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2}$.

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$, $x_3 = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$, $x_3 = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}$.

220. Найдите координаты точек пересечения графика функции y = x³ – 6x² + 11x – 6 с осями координат.

Для нахождения координат точек пересечения графика функции с осями координат, необходимо рассмотреть два случая: пересечение с осью ординат (OY) и пересечение с осью абсцисс (OX).

Пересечение с осью ординат (осью OY)

Точка пересечения с осью OY имеет абсциссу (координату $x$) равную нулю. Подставим $x = 0$ в уравнение функции $y = x? - 6x? + 11x - 6$, чтобы найти ординату (координату $y$):
$y = (0)? - 6 \cdot (0)? + 11 \cdot (0) - 6$
$y = 0 - 0 + 0 - 6$
$y = -6$
Следовательно, точка пересечения графика с осью OY имеет координаты $(0, -6)$.

Ответ: $(0, -6)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью OX)

Точки пересечения с осью OX имеют ординату (координату $y$) равную нулю. Чтобы найти абсциссы этих точек, приравняем функцию к нулю и решим полученное уравнение:
$x? - 6x? + 11x - 6 = 0$
Это кубическое уравнение. Для его решения воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Возможные целые корни являются делителями свободного члена ($-6$).
Делители числа -6: $±1, ±2, ±3, ±6$.
Выполним проверку, подставляя эти значения в уравнение:
При $x = 1$: $1? - 6(1)? + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$. Значит, $x_1 = 1$ — первый корень.
При $x = 2$: $2? - 6(2)? + 11(2) - 6 = 8 - 6(4) + 22 - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 0$. Значит, $x_2 = 2$ — второй корень.
При $x = 3$: $3? - 6(3)? + 11(3) - 6 = 27 - 6(9) + 33 - 6 = 27 - 54 + 33 - 6 = 0$. Значит, $x_3 = 3$ — третий корень.
Кубическое уравнение имеет не более трех корней. Мы нашли все три корня. Таким образом, график функции пересекает ось OX в трех точках с координатами $(1, 0)$, $(2, 0)$ и $(3, 0)$.

Ответ: $(1, 0)$, $(2, 0)$, $(3, 0)$.

221. Решите уравнение, используя введение новой переменной:

а) Дано уравнение $(2x^2 + 3)^2 - 12(2x^2 + 3) + 11 = 0$.

Заметим, что выражение $(2x^2 + 3)$ повторяется. Введем новую переменную, чтобы упростить уравнение.

Пусть $y = 2x^2 + 3$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$y^2 - 12y + 11 = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $y$. Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $y_1 + y_2 = 12$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = 11$. Легко подобрать корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 11$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1) Если $y = 1$:

$2x^2 + 3 = 1$

$2x^2 = 1 - 3$

$2x^2 = -2$

$x^2 = -1$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

2) Если $y = 11$:

$2x^2 + 3 = 11$

$2x^2 = 11 - 3$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-2; 2$.

б) Дано уравнение $(t^2 - 2t)^2 - 3 = 2(t^2 - 2t)$.

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартный вид уравнения:

$(t^2 - 2t)^2 - 2(t^2 - 2t) - 3 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $y = t^2 - 2t$. Тогда уравнение принимает вид:

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 2$ и $y_1 \cdot y_2 = -3$. Отсюда корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Теперь выполним обратную замену.

1) Если $y = 3$:

$t^2 - 2t = 3$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Снова применяем теорему Виета: $t_1 + t_2 = 2$, $t_1 \cdot t_2 = -3$. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

2) Если $y = -1$:

$t^2 - 2t = -1$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

Это полный квадрат: $(t - 1)^2 = 0$. Отсюда $t_3 = 1$.

Ответ: $-1; 1; 3$.

в) Дано уравнение $(x^2 + x - 1)(x^2 + x + 2) = 40$.

Введем новую переменную для повторяющегося выражения $x^2 + x$.

Пусть $y = x^2 + x$. Тогда уравнение можно переписать так:

$(y - 1)(y + 2) = 40$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 + 2y - y - 2 = 40$

$y^2 + y - 42 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета: $y_1 + y_2 = -1$, $y_1 \cdot y_2 = -42$. Корни: $y_1 = 6$ и $y_2 = -7$.

Выполним обратную замену.

1) Если $y = 6$:

$x^2 + x = 6$

$x^2 + x - 6 = 0$

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

2) Если $y = -7$:

$x^2 + x = -7$

$x^2 + x + 7 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 - 28 = -27$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Ответ: $-3; 2$.

г) Дано уравнение $(2x^2 + x - 1)(2x^2 + x - 4) + 2 = 0$.

Введем новую переменную для выражения $2x^2 + x$.

Пусть $y = 2x^2 + x$. Тогда уравнение принимает вид:

$(y - 1)(y - 4) + 2 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$y^2 - 4y - y + 4 + 2 = 0$

$y^2 - 5y + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 5$, $y_1 \cdot y_2 = 6$. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.

Выполним обратную замену.

1) Если $y = 2$:

$2x^2 + x = 2$

$2x^2 + x - 2 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$.

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$.

2) Если $y = 3$:

$2x^2 + x = 3$

$2x^2 + x - 3 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

$x_3 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

$x_4 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Ответ: $-\frac{3}{2}; 1; \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}; \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$.