Страница 82 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

233. При каких значениях a равно нулю значение дроби:

а)

Значение дроби равно нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Заданная дробь: $ \frac{a^3 - 9a}{a^2 + a - 12} $.

1. Приравняем числитель к нулю:
$ a^3 - 9a = 0 $
Вынесем общий множитель $ a $ за скобки:
$ a(a^2 - 9) = 0 $
Разложим разность квадратов $ (a^2 - 9) $:
$ a(a - 3)(a + 3) = 0 $
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем возможные значения $ a $:
$ a_1 = 0 $, $ a_2 = 3 $, $ a_3 = -3 $.

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), то есть значения $ a $, при которых знаменатель не равен нулю. Для этого найдем, когда знаменатель равен нулю:
$ a^2 + a - 12 = 0 $
Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант.
Дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $.
Корни: $ a = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2} $.
$ a_4 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 $
$ a_5 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 $
Следовательно, знаменатель обращается в ноль при $ a = 3 $ и $ a = -4 $. ОДЗ: $ a \neq 3 $ и $ a \neq -4 $.

3. Сопоставим результаты. Из найденных корней числителя ($0, 3, -3$) необходимо исключить те, которые не входят в ОДЗ.
Значение $ a = 3 $ обращает знаменатель в ноль, поэтому оно не является решением.
Значения $ a = 0 $ и $ a = -3 $ удовлетворяют условию (числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю).

Ответ: при $ a = 0 $ и $ a = -3 $.

б)

Значение дроби равно нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Заданная дробь: $ \frac{a^5 + 2a^4}{a^3 + a + 10} $.

1. Приравняем числитель к нулю:
$ a^5 + 2a^4 = 0 $
$ a^4(a + 2) = 0 $
Отсюда получаем возможные значения: $ a_1 = 0 $, $ a_2 = -2 $.

2. Найдем ОДЗ. Для этого найдем, когда знаменатель равен нулю:
$ a^3 + a + 10 = 0 $
Это кубическое уравнение. Попробуем найти целый корень среди делителей свободного члена 10 ($ \pm1, \pm2, \pm5, \pm10 $).
Проверим $ a = -2 $: $ (-2)^3 + (-2) + 10 = -8 - 2 + 10 = 0 $.
Значит, $ a = -2 $ является корнем. Разделим многочлен $ a^3 + a + 10 $ на $ (a + 2) $:
$ (a^3 + a + 10) \div (a + 2) = a^2 - 2a + 5 $.
Таким образом, знаменатель можно разложить на множители: $ (a + 2)(a^2 - 2a + 5) = 0 $.
Рассмотрим второй множитель: $ a^2 - 2a + 5 = 0 $. Его дискриминант $ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0 $. Так как дискриминант отрицательный, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.
Единственный действительный корень знаменателя — это $ a = -2 $. ОДЗ: $ a \neq -2 $.

3. Сопоставим результаты. Из корней числителя ($0, -2$) исключим те, что не входят в ОДЗ.
Значение $ a = -2 $ обращает знаменатель в ноль, поэтому его нужно исключить.
Значение $ a = 0 $ удовлетворяет условию.

Ответ: при $ a = 0 $.

в)

Значение дроби равно нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Заданная дробь: $ \frac{a^5 - 4a^4 + 4a^3}{a^4 - 16} $.

1. Приравняем числитель к нулю:
$ a^5 - 4a^4 + 4a^3 = 0 $
$ a^3(a^2 - 4a + 4) = 0 $
Выражение в скобках является полным квадратом: $ a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2 $.
$ a^3(a - 2)^2 = 0 $
Отсюда получаем возможные значения: $ a_1 = 0 $, $ a_2 = 2 $.

2. Найдем ОДЗ. Для этого найдем, когда знаменатель равен нулю:
$ a^4 - 16 = 0 $
Разложим на множители как разность квадратов:
$ (a^2 - 4)(a^2 + 4) = 0 $
$ (a - 2)(a + 2)(a^2 + 4) = 0 $
Выражение $ a^2 + 4 $ всегда положительно при любых действительных $ a $, поэтому оно не может быть равно нулю.
Корни знаменателя: $ a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2 $ и $ a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2 $.
ОДЗ: $ a \neq 2 $ и $ a \neq -2 $.

3. Сопоставим результаты. Из корней числителя ($0, 2$) исключим те, что не входят в ОДЗ.
Значение $ a = 2 $ обращает знаменатель в ноль, поэтому его нужно исключить.
Значение $ a = 0 $ удовлетворяет условию.

Ответ: при $ a = 0 $.

234. Решите уравнение:

а)

Данное уравнение является рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

1. Приравняем числитель к нулю: $5y^3 - 15y^2 - 2y + 6 = 0$.

Решим это уравнение, используя метод группировки:

$(5y^3 - 15y^2) - (2y - 6) = 0$

$5y^2(y - 3) - 2(y - 3) = 0$

$(y - 3)(5y^2 - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$y - 3 = 0$ или $5y^2 - 2 = 0$

$y_1 = 3$

$5y^2 = 2 \implies y^2 = \frac{2}{5} \implies y_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{2}{5}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{5}$

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), приравняв знаменатель к нулю и исключив эти значения:

$y^2 - 9 \neq 0$

$(y - 3)(y + 3) \neq 0$

$y \neq 3$ и $y \neq -3$

3. Сопоставим корни числителя с ОДЗ. Корень $y_1 = 3$ не удовлетворяет условию $y \neq 3$, поэтому он является посторонним. Корни $y_2 = \frac{\sqrt{10}}{5}$ и $y_3 = -\frac{\sqrt{10}}{5}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $y = \pm\frac{\sqrt{10}}{5}$.

б)

Решаем по аналогии с предыдущим пунктом. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю: $3y^3 - 12y^2 - y + 4 = 0$.

Сгруппируем слагаемые:

$(3y^3 - 12y^2) - (y - 4) = 0$

$3y^2(y - 4) - 1(y - 4) = 0$

$(y - 4)(3y^2 - 1) = 0$

Отсюда:

$y - 4 = 0$ или $3y^2 - 1 = 0$

$y_1 = 4$

$3y^2 = 1 \implies y^2 = \frac{1}{3} \implies y_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

2. Найдем ОДЗ:

$9y^4 - 1 \neq 0$

$(3y^2 - 1)(3y^2 + 1) \neq 0$

Выражение $3y^2 + 1$ всегда больше нуля при любом действительном $y$. Следовательно, ограничение накладывается только на первый множитель:

$3y^2 - 1 \neq 0 \implies y^2 \neq \frac{1}{3} \implies y \neq \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

3. Сравним корни с ОДЗ. Корни $y_{2,3} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$ не удовлетворяют ОДЗ, поэтому они посторонние. Корень $y_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $y = 4$.

в)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Решим уравнение, приравняв числитель к нулю: $6x^3 + 48x^2 - 2x - 16 = 0$.

Разделим все уравнение на 2 для упрощения: $3x^3 + 24x^2 - x - 8 = 0$.

Сгруппируем:

$(3x^3 + 24x^2) - (x + 8) = 0$

$3x^2(x + 8) - 1(x + 8) = 0$

$(x + 8)(3x^2 - 1) = 0$

Отсюда:

$x + 8 = 0$ или $3x^2 - 1 = 0$

$x_1 = -8$

$3x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

2. Найдем ОДЗ:

$x^2 - 64 \neq 0$

$(x - 8)(x + 8) \neq 0$

$x \neq 8$ и $x \neq -8$

3. Сравним корни с ОДЗ. Корень $x_1 = -8$ не удовлетворяет ОДЗ. Корни $x_{2,3} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю: $y^3 - 4y^2 - 6y + 24 = 0$.

Сгруппируем:

$(y^3 - 4y^2) - (6y - 24) = 0$

$y^2(y - 4) - 6(y - 4) = 0$

$(y - 4)(y^2 - 6) = 0$

Отсюда:

$y - 4 = 0$ или $y^2 - 6 = 0$

$y_1 = 4$

$y^2 = 6 \implies y_{2,3} = \pm\sqrt{6}$

2. Найдем ОДЗ:

$y^3 - 6y \neq 0$

$y(y^2 - 6) \neq 0$

Это означает, что $y \neq 0$ и $y^2 - 6 \neq 0$.

$y^2 \neq 6 \implies y \neq \pm\sqrt{6}$

Итак, ОДЗ: $y \neq 0, y \neq \sqrt{6}, y \neq -\sqrt{6}$.

3. Сравним корни с ОДЗ. Корни $y_{2,3} = \pm\sqrt{6}$ не удовлетворяют ОДЗ. Корень $y_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $y = 4$.

235. Решите уравнение:

а)

Исходное уравнение:

$$ \frac{2}{x-2} - \frac{10}{x+3} = \frac{50}{x^2+x-6} - 1 $$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$

Разложим на множители знаменатель третьей дроби: $x^2 + x - 6$. Чтобы найти корни уравнения $x^2+x-6=0$, можно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-6$. Корни равны $-3$ и $2$. Таким образом, $x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3)$. Это условие не добавляет новых ограничений к ОДЗ. Итак, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -3$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$$ \frac{2}{x-2} - \frac{10}{x+3} - \frac{50}{(x-2)(x+3)} + 1 = 0 $$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-2)(x+3)$:

$$ \frac{2(x+3)}{(x-2)(x+3)} - \frac{10(x-2)}{(x-2)(x+3)} - \frac{50}{(x-2)(x+3)} + \frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+3)} = 0 $$

Так как в ОДЗ знаменатель не равен нулю, мы можем приравнять числитель к нулю:

$$ 2(x+3) - 10(x-2) - 50 + (x-2)(x+3) = 0 $$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$ 2x + 6 - 10x + 20 - 50 + x^2 + x - 6 = 0 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ x^2 + (2x - 10x + x) + (6 + 20 - 50 - 6) = 0 $$

$$ x^2 - 7x - 30 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2 $$

Найдем корни уравнения:

$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10 $$

$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -3$).

Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $x+3$ обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $10$

б)

Исходное уравнение:

$$ \frac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} - \frac{30-12x}{8x-x^2-7} = 0 $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

$x - 7 \neq 0 \implies x \neq 7$

Рассмотрим знаменатель третьей дроби: $8x - x^2 - 7 = -(x^2 - 8x + 7)$. Найдем корни трехчлена $x^2 - 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $8$, а произведение $7$. Корни равны 1 и 7. Таким образом, $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7)$, а $8x - x^2 - 7 = -(x-1)(x-7)$. ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq 7$.

Подставим разложенный знаменатель в уравнение:

$$ \frac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} - \frac{30-12x}{-(x-1)(x-7)} = 0 $$

Упростим выражение, изменив знак перед третьей дробью:

$$ \frac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} + \frac{30-12x}{(x-1)(x-7)} = 0 $$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x-7)$:

$$ \frac{(x+5)(x-7)}{(x-1)(x-7)} + \frac{(2x-5)(x-1)}{(x-1)(x-7)} + \frac{30-12x}{(x-1)(x-7)} = 0 $$

Приравняем числитель к нулю:

$$ (x+5)(x-7) + (2x-5)(x-1) + 30 - 12x = 0 $$

Раскроем скобки:

$$ (x^2 - 7x + 5x - 35) + (2x^2 - 2x - 5x + 5) + 30 - 12x = 0 $$

$$ x^2 - 2x - 35 + 2x^2 - 7x + 5 + 30 - 12x = 0 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ (x^2 + 2x^2) + (-2x - 7x - 12x) + (-35 + 5 + 30) = 0 $$

$$ 3x^2 - 21x = 0 $$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$$ 3x(x - 7) = 0 $$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$3x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 7 = 0 \implies x_2 = 7$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq 7$).

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = 7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=7$ знаменатель $x-7$ обращается в ноль. Это посторонний корень.

Ответ: $0$

236. Найдите корни уравнения:

а)

Решим уравнение $ \frac{3x - 2}{x - 1} - \frac{2x + 3}{x + 3} = \frac{12x + 4}{x^2 + 2x - 3} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$
Разложим на множители знаменатель третьей дроби: $x^2 + 2x - 3$. Корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ по теореме Виета равны $1$ и $-3$. Значит, $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -3$.

Общий знаменатель для всех дробей — это $(x - 1)(x + 3)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$(3x - 2)(x + 3) - (2x + 3)(x - 1) = 12x + 4$

Раскроем скобки:

$(3x^2 + 9x - 2x - 6) - (2x^2 - 2x + 3x - 3) = 12x + 4$
$(3x^2 + 7x - 6) - (2x^2 + x - 3) = 12x + 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x^2 + 7x - 6 - 2x^2 - x + 3 = 12x + 4$
$x^2 + 6x - 3 = 12x + 4$

Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное уравнение:

$x^2 + 6x - 12x - 3 - 4 = 0$
$x^2 - 6x - 7 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а их произведение равно $-7$. Корни:
$x_1 = 7$
$x_2 = -1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($7 \neq 1, 7 \neq -3$ и $-1 \neq 1, -1 \neq -3$).

Ответ: $-1; 7$.

б)

Решим уравнение $ \frac{5x - 1}{x + 7} - \frac{2x + 2}{x - 3} + \frac{63}{x^2 + 4x - 21} = 0 $.

Найдем ОДЗ:
$x + 7 \neq 0 \implies x \neq -7$
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
Разложим на множители знаменатель $x^2 + 4x - 21$. Корни уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$ по теореме Виета равны $3$ и $-7$. Значит, $x^2 + 4x - 21 = (x - 3)(x + 7)$.
ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -7$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x + 7)(x - 3)$:

$\frac{(5x - 1)(x - 3) - (2x + 2)(x + 7) + 63}{(x + 7)(x - 3)} = 0$

Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ). Приравняем числитель к нулю:

$(5x - 1)(x - 3) - (2x + 2)(x + 7) + 63 = 0$

Раскроем скобки:

$(5x^2 - 15x - x + 3) - (2x^2 + 14x + 2x + 14) + 63 = 0$
$(5x^2 - 16x + 3) - (2x^2 + 16x + 14) + 63 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$5x^2 - 16x + 3 - 2x^2 - 16x - 14 + 63 = 0$
$3x^2 - 32x + 52 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 52 = 1024 - 624 = 400 = 20^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 \pm 20}{2 \cdot 3} = \frac{32 \pm 20}{6}$
$x_1 = \frac{32 + 20}{6} = \frac{52}{6} = \frac{26}{3} = 8\frac{2}{3}$
$x_2 = \frac{32 - 20}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($8\frac{2}{3} \neq 3, 8\frac{2}{3} \neq -7$ и $2 \neq 3, 2 \neq -7$).

Ответ: $2; 8\frac{2}{3}$.

в)

Решим уравнение $ \frac{x}{x^2 + 4x + 4} = \frac{4}{x^2 - 4} - \frac{16}{x^3 + 2x^2 - 4x - 8} $.

Разложим знаменатели на множители, чтобы найти ОДЗ и общий знаменатель:

$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
$x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = x^2(x + 2) - 4(x + 2) = (x^2 - 4)(x + 2) = (x - 2)(x + 2)(x + 2) = (x - 2)(x + 2)^2$

Из разложения знаменателей следует, что $x \neq -2$ и $x \neq 2$. Это и есть ОДЗ.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$\frac{x}{(x + 2)^2} = \frac{4}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{16}{(x - 2)(x + 2)^2}$

Общий знаменатель — $(x - 2)(x + 2)^2$. Умножим обе части уравнения на него:

$x(x - 2) = 4(x + 2) - 16$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 - 2x = 4x + 8 - 16$
$x^2 - 2x = 4x - 8$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 2x - 4x + 8 = 0$
$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а произведение равно $8$. Корни:
$x_1 = 4$
$x_2 = 2$

Проверим корни по ОДЗ ($x \neq -2, x \neq 2$):
$x_1 = 4$ — удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = 2$ — не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=2$ знаменатели $x^2-4$ и $x^3+2x^2-4x-8$ обращаются в ноль. Этот корень является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет только один корень.

Ответ: $4$.