Номер 235, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. 14. Дробные рациональные уравнения - номер 235, страница 82.

Условие.

235. Решите уравнение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Исходное уравнение:

$$ \frac{2}{x-2} - \frac{10}{x+3} = \frac{50}{x^2+x-6} - 1 $$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$

Разложим на множители знаменатель третьей дроби: $x^2 + x - 6$. Чтобы найти корни уравнения $x^2+x-6=0$, можно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-6$. Корни равны $-3$ и $2$. Таким образом, $x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3)$. Это условие не добавляет новых ограничений к ОДЗ. Итак, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -3$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$$ \frac{2}{x-2} - \frac{10}{x+3} - \frac{50}{(x-2)(x+3)} + 1 = 0 $$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-2)(x+3)$:

$$ \frac{2(x+3)}{(x-2)(x+3)} - \frac{10(x-2)}{(x-2)(x+3)} - \frac{50}{(x-2)(x+3)} + \frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+3)} = 0 $$

Так как в ОДЗ знаменатель не равен нулю, мы можем приравнять числитель к нулю:

$$ 2(x+3) - 10(x-2) - 50 + (x-2)(x+3) = 0 $$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$ 2x + 6 - 10x + 20 - 50 + x^2 + x - 6 = 0 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ x^2 + (2x - 10x + x) + (6 + 20 - 50 - 6) = 0 $$

$$ x^2 - 7x - 30 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2 $$

Найдем корни уравнения:

$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10 $$

$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -3$).

Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $x+3$ обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $10$

б)

Исходное уравнение:

$$ \frac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} - \frac{30-12x}{8x-x^2-7} = 0 $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

$x - 7 \neq 0 \implies x \neq 7$

Рассмотрим знаменатель третьей дроби: $8x - x^2 - 7 = -(x^2 - 8x + 7)$. Найдем корни трехчлена $x^2 - 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $8$, а произведение $7$. Корни равны 1 и 7. Таким образом, $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7)$, а $8x - x^2 - 7 = -(x-1)(x-7)$. ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq 7$.

Подставим разложенный знаменатель в уравнение:

$$ \frac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} - \frac{30-12x}{-(x-1)(x-7)} = 0 $$

Упростим выражение, изменив знак перед третьей дробью:

$$ \frac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} + \frac{30-12x}{(x-1)(x-7)} = 0 $$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x-7)$:

$$ \frac{(x+5)(x-7)}{(x-1)(x-7)} + \frac{(2x-5)(x-1)}{(x-1)(x-7)} + \frac{30-12x}{(x-1)(x-7)} = 0 $$

Приравняем числитель к нулю:

$$ (x+5)(x-7) + (2x-5)(x-1) + 30 - 12x = 0 $$

Раскроем скобки:

$$ (x^2 - 7x + 5x - 35) + (2x^2 - 2x - 5x + 5) + 30 - 12x = 0 $$

$$ x^2 - 2x - 35 + 2x^2 - 7x + 5 + 30 - 12x = 0 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ (x^2 + 2x^2) + (-2x - 7x - 12x) + (-35 + 5 + 30) = 0 $$

$$ 3x^2 - 21x = 0 $$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$$ 3x(x - 7) = 0 $$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$3x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 7 = 0 \implies x_2 = 7$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq 7$).

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = 7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=7$ знаменатель $x-7$ обращается в ноль. Это посторонний корень.

Ответ: $0$