Номер 235, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
14. Дробные рациональные уравнения. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 235, страница 82.
№235 (с. 82)
Условие. №235 (с. 82)
скриншот условия

235. Решите уравнение:

Решение 1. №235 (с. 82)


Решение 2. №235 (с. 82)


Решение 3. №235 (с. 82)


Решение 4. №235 (с. 82)

Решение 5. №235 (с. 82)

Решение 7. №235 (с. 82)

Решение 8. №235 (с. 82)
а)
Исходное уравнение:
$$ \frac{2}{x-2} - \frac{10}{x+3} = \frac{50}{x^2+x-6} - 1 $$
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$
$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$
Разложим на множители знаменатель третьей дроби: $x^2 + x - 6$. Чтобы найти корни уравнения $x^2+x-6=0$, можно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-6$. Корни равны $-3$ и $2$. Таким образом, $x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3)$. Это условие не добавляет новых ограничений к ОДЗ. Итак, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -3$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$$ \frac{2}{x-2} - \frac{10}{x+3} - \frac{50}{(x-2)(x+3)} + 1 = 0 $$
Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-2)(x+3)$:
$$ \frac{2(x+3)}{(x-2)(x+3)} - \frac{10(x-2)}{(x-2)(x+3)} - \frac{50}{(x-2)(x+3)} + \frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+3)} = 0 $$
Так как в ОДЗ знаменатель не равен нулю, мы можем приравнять числитель к нулю:
$$ 2(x+3) - 10(x-2) - 50 + (x-2)(x+3) = 0 $$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$$ 2x + 6 - 10x + 20 - 50 + x^2 + x - 6 = 0 $$
Приведем подобные слагаемые:
$$ x^2 + (2x - 10x + x) + (6 + 20 - 50 - 6) = 0 $$
$$ x^2 - 7x - 30 = 0 $$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$$ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2 $$
Найдем корни уравнения:
$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10 $$
$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -3$).
Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $x+3$ обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.
Ответ: $10$
б)
Исходное уравнение:
$$ \frac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} - \frac{30-12x}{8x-x^2-7} = 0 $$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
$x - 7 \neq 0 \implies x \neq 7$
Рассмотрим знаменатель третьей дроби: $8x - x^2 - 7 = -(x^2 - 8x + 7)$. Найдем корни трехчлена $x^2 - 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $8$, а произведение $7$. Корни равны 1 и 7. Таким образом, $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7)$, а $8x - x^2 - 7 = -(x-1)(x-7)$. ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq 7$.
Подставим разложенный знаменатель в уравнение:
$$ \frac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} - \frac{30-12x}{-(x-1)(x-7)} = 0 $$
Упростим выражение, изменив знак перед третьей дробью:
$$ \frac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} + \frac{30-12x}{(x-1)(x-7)} = 0 $$
Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x-7)$:
$$ \frac{(x+5)(x-7)}{(x-1)(x-7)} + \frac{(2x-5)(x-1)}{(x-1)(x-7)} + \frac{30-12x}{(x-1)(x-7)} = 0 $$
Приравняем числитель к нулю:
$$ (x+5)(x-7) + (2x-5)(x-1) + 30 - 12x = 0 $$
Раскроем скобки:
$$ (x^2 - 7x + 5x - 35) + (2x^2 - 2x - 5x + 5) + 30 - 12x = 0 $$
$$ x^2 - 2x - 35 + 2x^2 - 7x + 5 + 30 - 12x = 0 $$
Приведем подобные слагаемые:
$$ (x^2 + 2x^2) + (-2x - 7x - 12x) + (-35 + 5 + 30) = 0 $$
$$ 3x^2 - 21x = 0 $$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$$ 3x(x - 7) = 0 $$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$3x = 0 \implies x_1 = 0$
$x - 7 = 0 \implies x_2 = 7$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq 7$).
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = 7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=7$ знаменатель $x-7$ обращается в ноль. Это посторонний корень.
Ответ: $0$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 235 расположенного на странице 82 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №235 (с. 82), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.