Номер 233, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

233. При каких значениях a равно нулю значение дроби:

а)

Значение дроби равно нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Заданная дробь: $ \frac{a^3 - 9a}{a^2 + a - 12} $.

1. Приравняем числитель к нулю:
$ a^3 - 9a = 0 $
Вынесем общий множитель $ a $ за скобки:
$ a(a^2 - 9) = 0 $
Разложим разность квадратов $ (a^2 - 9) $:
$ a(a - 3)(a + 3) = 0 $
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем возможные значения $ a $:
$ a_1 = 0 $, $ a_2 = 3 $, $ a_3 = -3 $.

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), то есть значения $ a $, при которых знаменатель не равен нулю. Для этого найдем, когда знаменатель равен нулю:
$ a^2 + a - 12 = 0 $
Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант.
Дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $.
Корни: $ a = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2} $.
$ a_4 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 $
$ a_5 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 $
Следовательно, знаменатель обращается в ноль при $ a = 3 $ и $ a = -4 $. ОДЗ: $ a \neq 3 $ и $ a \neq -4 $.

3. Сопоставим результаты. Из найденных корней числителя ($0, 3, -3$) необходимо исключить те, которые не входят в ОДЗ.
Значение $ a = 3 $ обращает знаменатель в ноль, поэтому оно не является решением.
Значения $ a = 0 $ и $ a = -3 $ удовлетворяют условию (числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю).

Ответ: при $ a = 0 $ и $ a = -3 $.

б)

Значение дроби равно нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Заданная дробь: $ \frac{a^5 + 2a^4}{a^3 + a + 10} $.

1. Приравняем числитель к нулю:
$ a^5 + 2a^4 = 0 $
$ a^4(a + 2) = 0 $
Отсюда получаем возможные значения: $ a_1 = 0 $, $ a_2 = -2 $.

2. Найдем ОДЗ. Для этого найдем, когда знаменатель равен нулю:
$ a^3 + a + 10 = 0 $
Это кубическое уравнение. Попробуем найти целый корень среди делителей свободного члена 10 ($ \pm1, \pm2, \pm5, \pm10 $).
Проверим $ a = -2 $: $ (-2)^3 + (-2) + 10 = -8 - 2 + 10 = 0 $.
Значит, $ a = -2 $ является корнем. Разделим многочлен $ a^3 + a + 10 $ на $ (a + 2) $:
$ (a^3 + a + 10) \div (a + 2) = a^2 - 2a + 5 $.
Таким образом, знаменатель можно разложить на множители: $ (a + 2)(a^2 - 2a + 5) = 0 $.
Рассмотрим второй множитель: $ a^2 - 2a + 5 = 0 $. Его дискриминант $ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0 $. Так как дискриминант отрицательный, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.
Единственный действительный корень знаменателя — это $ a = -2 $. ОДЗ: $ a \neq -2 $.

3. Сопоставим результаты. Из корней числителя ($0, -2$) исключим те, что не входят в ОДЗ.
Значение $ a = -2 $ обращает знаменатель в ноль, поэтому его нужно исключить.
Значение $ a = 0 $ удовлетворяет условию.

Ответ: при $ a = 0 $.

в)

Значение дроби равно нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Заданная дробь: $ \frac{a^5 - 4a^4 + 4a^3}{a^4 - 16} $.

1. Приравняем числитель к нулю:
$ a^5 - 4a^4 + 4a^3 = 0 $
$ a^3(a^2 - 4a + 4) = 0 $
Выражение в скобках является полным квадратом: $ a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2 $.
$ a^3(a - 2)^2 = 0 $
Отсюда получаем возможные значения: $ a_1 = 0 $, $ a_2 = 2 $.

2. Найдем ОДЗ. Для этого найдем, когда знаменатель равен нулю:
$ a^4 - 16 = 0 $
Разложим на множители как разность квадратов:
$ (a^2 - 4)(a^2 + 4) = 0 $
$ (a - 2)(a + 2)(a^2 + 4) = 0 $
Выражение $ a^2 + 4 $ всегда положительно при любых действительных $ a $, поэтому оно не может быть равно нулю.
Корни знаменателя: $ a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2 $ и $ a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2 $.
ОДЗ: $ a \neq 2 $ и $ a \neq -2 $.

3. Сопоставим результаты. Из корней числителя ($0, 2$) исключим те, что не входят в ОДЗ.
Значение $ a = 2 $ обращает знаменатель в ноль, поэтому его нужно исключить.
Значение $ a = 0 $ удовлетворяет условию.

Ответ: при $ a = 0 $.