Номер 226, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. 13. Целое уравнение и его корни - номер 226, страница 78.

Условие.

226. Разложите на множители трёхчлен:

а) x⁴ – 47x² – 98;

б) x⁴ – 85x² + 1764.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $x^4 - 47x^2 - 98$

Данный трёхчлен является биквадратным. Для его разложения на множители введём замену переменной. Пусть $y = x^2$, тогда $x^4 = y^2$. Выражение примет вид квадратного трёхчлена: $y^2 - 47y - 98$.

Для разложения квадратного трёхчлена на множители по формуле $ay^2+by+c = a(y-y_1)(y-y_2)$, найдём его корни, решив уравнение $y^2 - 47y - 98 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-98) = 2209 + 392 = 2601$.
Найдём корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{47 \pm \sqrt{2601}}{2} = \frac{47 \pm 51}{2}$.

$y_1 = \frac{47 + 51}{2} = \frac{98}{2} = 49$

$y_2 = \frac{47 - 51}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь разложим трёхчлен с переменной $y$ на множители: $y^2 - 47y - 98 = (y - 49)(y - (-2)) = (y - 49)(y + 2)$.

Вернёмся к исходной переменной $x$, подставив $y = x^2$: $(x^2 - 49)(x^2 + 2)$.

Первый множитель $(x^2 - 49)$ можно разложить по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$. Второй множитель $(x^2 + 2)$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами, так как уравнение $x^2+2=0$ не имеет действительных корней.

Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид: $(x - 7)(x + 7)(x^2 + 2)$.

Ответ: $(x - 7)(x + 7)(x^2 + 2)$.

б) $x^4 - 85x^2 + 1764$

Это также биквадратный трёхчлен. Сделаем замену переменной: $y = x^2$. Тогда получим квадратный трёхчлен $y^2 - 85y + 1764$.

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 - 85y + 1764 = 0$, чтобы разложить его на множители.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-85)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1764 = 7225 - 7056 = 169$.
Найдём корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{85 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{85 \pm 13}{2}$.

$y_1 = \frac{85 + 13}{2} = \frac{98}{2} = 49$

$y_2 = \frac{85 - 13}{2} = \frac{72}{2} = 36$

Разложим квадратный трёхчлен на множители: $y^2 - 85y + 1764 = (y - 49)(y - 36)$.

Выполним обратную замену $y = x^2$: $(x^2 - 49)(x^2 - 36)$.

Оба множителя являются разностями квадратов и могут быть разложены дальше по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$
$x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x - 6)(x + 6)$

Собираем все множители вместе: $(x - 7)(x + 7)(x - 6)(x + 6)$.

Ответ: $(x - 7)(x + 7)(x - 6)(x + 6)$.