Номер 220, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

13. Целое уравнение и его корни. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 220, страница 77.

Условие.

220. Найдите координаты точек пересечения графика функции y = x³ – 6x² + 11x – 6 с осями координат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения координат точек пересечения графика функции с осями координат, необходимо рассмотреть два случая: пересечение с осью ординат (OY) и пересечение с осью абсцисс (OX).

Пересечение с осью ординат (осью OY)

Точка пересечения с осью OY имеет абсциссу (координату $x$) равную нулю. Подставим $x = 0$ в уравнение функции $y = x? - 6x? + 11x - 6$, чтобы найти ординату (координату $y$):
$y = (0)? - 6 \cdot (0)? + 11 \cdot (0) - 6$
$y = 0 - 0 + 0 - 6$
$y = -6$
Следовательно, точка пересечения графика с осью OY имеет координаты $(0, -6)$.

Ответ: $(0, -6)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью OX)

Точки пересечения с осью OX имеют ординату (координату $y$) равную нулю. Чтобы найти абсциссы этих точек, приравняем функцию к нулю и решим полученное уравнение:
$x? - 6x? + 11x - 6 = 0$
Это кубическое уравнение. Для его решения воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Возможные целые корни являются делителями свободного члена ($-6$).
Делители числа -6: $±1, ±2, ±3, ±6$.
Выполним проверку, подставляя эти значения в уравнение:
При $x = 1$: $1? - 6(1)? + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$. Значит, $x_1 = 1$ — первый корень.
При $x = 2$: $2? - 6(2)? + 11(2) - 6 = 8 - 6(4) + 22 - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 0$. Значит, $x_2 = 2$ — второй корень.
При $x = 3$: $3? - 6(3)? + 11(3) - 6 = 27 - 6(9) + 33 - 6 = 27 - 54 + 33 - 6 = 0$. Значит, $x_3 = 3$ — третий корень.
Кубическое уравнение имеет не более трех корней. Мы нашли все три корня. Таким образом, график функции пересекает ось OX в трех точках с координатами $(1, 0)$, $(2, 0)$ и $(3, 0)$.

Ответ: $(1, 0)$, $(2, 0)$, $(3, 0)$.