Номер 221, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

221. Решите уравнение, используя введение новой переменной:

а) Дано уравнение $(2x^2 + 3)^2 - 12(2x^2 + 3) + 11 = 0$.

Заметим, что выражение $(2x^2 + 3)$ повторяется. Введем новую переменную, чтобы упростить уравнение.

Пусть $y = 2x^2 + 3$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$y^2 - 12y + 11 = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $y$. Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $y_1 + y_2 = 12$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = 11$. Легко подобрать корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 11$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1) Если $y = 1$:

$2x^2 + 3 = 1$

$2x^2 = 1 - 3$

$2x^2 = -2$

$x^2 = -1$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

2) Если $y = 11$:

$2x^2 + 3 = 11$

$2x^2 = 11 - 3$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-2; 2$.

б) Дано уравнение $(t^2 - 2t)^2 - 3 = 2(t^2 - 2t)$.

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартный вид уравнения:

$(t^2 - 2t)^2 - 2(t^2 - 2t) - 3 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $y = t^2 - 2t$. Тогда уравнение принимает вид:

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 2$ и $y_1 \cdot y_2 = -3$. Отсюда корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Теперь выполним обратную замену.

1) Если $y = 3$:

$t^2 - 2t = 3$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Снова применяем теорему Виета: $t_1 + t_2 = 2$, $t_1 \cdot t_2 = -3$. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

2) Если $y = -1$:

$t^2 - 2t = -1$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

Это полный квадрат: $(t - 1)^2 = 0$. Отсюда $t_3 = 1$.

Ответ: $-1; 1; 3$.

в) Дано уравнение $(x^2 + x - 1)(x^2 + x + 2) = 40$.

Введем новую переменную для повторяющегося выражения $x^2 + x$.

Пусть $y = x^2 + x$. Тогда уравнение можно переписать так:

$(y - 1)(y + 2) = 40$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 + 2y - y - 2 = 40$

$y^2 + y - 42 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета: $y_1 + y_2 = -1$, $y_1 \cdot y_2 = -42$. Корни: $y_1 = 6$ и $y_2 = -7$.

Выполним обратную замену.

1) Если $y = 6$:

$x^2 + x = 6$

$x^2 + x - 6 = 0$

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

2) Если $y = -7$:

$x^2 + x = -7$

$x^2 + x + 7 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 - 28 = -27$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Ответ: $-3; 2$.

г) Дано уравнение $(2x^2 + x - 1)(2x^2 + x - 4) + 2 = 0$.

Введем новую переменную для выражения $2x^2 + x$.

Пусть $y = 2x^2 + x$. Тогда уравнение принимает вид:

$(y - 1)(y - 4) + 2 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$y^2 - 4y - y + 4 + 2 = 0$

$y^2 - 5y + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 5$, $y_1 \cdot y_2 = 6$. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.

Выполним обратную замену.

1) Если $y = 2$:

$2x^2 + x = 2$

$2x^2 + x - 2 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$.

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$.

2) Если $y = 3$:

$2x^2 + x = 3$

$2x^2 + x - 3 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

$x_3 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

$x_4 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Ответ: $-\frac{3}{2}; 1; \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}; \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$.