Номер 219, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

13. Целое уравнение и его корни. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 219, страница 77.

Условие.

219. Решите уравнение:

а) x³ + 7x² – 6 = 0;

б) x³ + 4x² – 5 = 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $x^3 + 7x^2 - 6 = 0$

Это кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Попробуем найти целый корень среди делителей свободного члена, равного -6. Делителями числа -6 являются: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Подставим $x = -1$ в уравнение:

$(-1)^3 + 7(-1)^2 - 6 = -1 + 7(1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$.

Поскольку $x = -1$ является корнем уравнения, многочлен $x^3 + 7x^2 - 6$ делится нацело на двучлен $(x - (-1))$, то есть на $(x + 1)$. Выполним разложение на множители методом группировки:

$x^3 + 7x^2 - 6 = x^3 + x^2 + 6x^2 + 6x - 6x - 6 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + x^2) + (6x^2 + 6x) - (6x + 6) = 0$

Вынесем общие множители за скобки:

$x^2(x+1) + 6x(x+1) - 6(x+1) = 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x+1)$:

$(x+1)(x^2 + 6x - 6) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$.

2) $x^2 + 6x - 6 = 0$.

Это квадратное уравнение, решим его с помощью формулы для корней через дискриминант.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 36 + 24 = 60$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$\sqrt{D} = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$.

Найдем корни:

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -3 \pm \sqrt{15}$.

$x_2 = -3 + \sqrt{15}$, $x_3 = -3 - \sqrt{15}$.

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = -3 + \sqrt{15}$, $x_3 = -3 - \sqrt{15}$.

б) $x^3 + 4x^2 - 5 = 0$

Найдем целый корень этого кубического уравнения среди делителей свободного члена -5. Делителями являются: $\pm1, \pm5$.

Подставим $x = 1$ в уравнение:

$1^3 + 4(1)^2 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$.

Так как $x = 1$ является корнем, многочлен $x^3 + 4x^2 - 5$ делится на $(x - 1)$. Разложим его на множители:

$x^3 + 4x^2 - 5 = x^3 - x^2 + 5x^2 - 5x + 5x - 5 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - x^2) + (5x^2 - 5x) + (5x - 5) = 0$

Вынесем общие множители за скобки:

$x^2(x-1) + 5x(x-1) + 5(x-1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-1)$:

$(x-1)(x^2 + 5x + 5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$.

2) $x^2 + 5x + 5 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$\sqrt{D} = \sqrt{5}$.

Найдем корни:

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2}$.

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$, $x_3 = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$, $x_3 = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}$.