Номер 213, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

13. Целое уравнение и его корни. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 213, страница 77.

Условие.

213. Докажите, что уравнение 5x⁶ + 6x⁴ + x² + 4 = 0 не имеет корней.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы доказать, что уравнение $5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4 = 0$ не имеет корней, проанализируем его левую часть.

Обратим внимание, что все слагаемые, содержащие переменную $x$, имеют четные степени: $x^6$, $x^4$, $x^2$. Для любого действительного числа $x$ значение выражения в четной степени всегда является неотрицательным (то есть больше или равно нулю).

Рассмотрим каждое слагаемое в отдельности:

1. $x^6 \ge 0$. Так как коэффициент 5 положителен, то и слагаемое $5x^6 \ge 0$.

2. $x^4 \ge 0$. Так как коэффициент 6 положителен, то и слагаемое $6x^4 \ge 0$.

3. $x^2 \ge 0$.

4. Слагаемое 4 является положительной константой.

Теперь сложим все слагаемые левой части уравнения. Сумма трех неотрицательных слагаемых ($5x^6$, $6x^4$, $x^2$) также будет неотрицательной:

$5x^6 + 6x^4 + x^2 \ge 0$

Прибавив к этой сумме положительное число 4, мы получим выражение, которое всегда будет строго положительным. Точнее, мы можем оценить его минимальное значение:

$(5x^6 + 6x^4 + x^2) + 4 \ge 0 + 4$

$5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4 \ge 4$

Таким образом, левая часть уравнения при любом действительном значении $x$ всегда больше или равна 4. Это означает, что она никогда не может быть равна нулю.

Следовательно, уравнение $5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4 = 0$ не имеет действительных корней, что и требовалось доказать.

Ответ: Уравнение не имеет корней, так как левая часть уравнения $5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4$ для любого действительного значения $x$ представляет собой сумму трех неотрицательных слагаемых и положительного числа 4, поэтому ее значение всегда больше или равно 4 и не может равняться нулю.