Номер 212, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. 13. Целое уравнение и его корни - номер 212, страница 77.

Условие.

212. Решите уравнение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $(6 - x)(x + 6) - (x - 11)x = 36$

Раскроем скобки. Первое произведение представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(6^2 - x^2) - (x \cdot x - 11 \cdot x) = 36$

$36 - x^2 - (x^2 - 11x) = 36$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные.

$36 - x^2 - x^2 + 11x = 36$

Приведем подобные слагаемые.

$-2x^2 + 11x + 36 = 36$

Перенесем 36 из правой части в левую с противоположным знаком.

$-2x^2 + 11x + 36 - 36 = 0$

$-2x^2 + 11x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

$x(-2x + 11) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

$x_1 = 0$ или $-2x + 11 = 0$

Решим второе уравнение:

$-2x = -11$

$x_2 = \frac{-11}{-2} = 5.5$

Ответ: $0; 5.5$

б) $9x^2 - \frac{(12x - 11)(3x + 8)}{4} = 1$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя.

$4 \cdot 9x^2 - (12x - 11)(3x + 8) = 4 \cdot 1$

$36x^2 - (12x \cdot 3x + 12x \cdot 8 - 11 \cdot 3x - 11 \cdot 8) = 4$

$36x^2 - (36x^2 + 96x - 33x - 88) = 4$

$36x^2 - (36x^2 + 63x - 88) = 4$

Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные.

$36x^2 - 36x^2 - 63x + 88 = 4$

Приведем подобные слагаемые.

$-63x + 88 = 4$

Перенесем 88 в правую часть уравнения.

$-63x = 4 - 88$

$-63x = -84$

$x = \frac{-84}{-63} = \frac{84}{63}$

Сократим дробь на 21.

$x = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

в) $\frac{1 - 3y}{11} - \frac{3 - y}{5} = 0$

Перенесем вторую дробь в правую часть уравнения.

$\frac{1 - 3y}{11} = \frac{3 - y}{5}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение).

$5(1 - 3y) = 11(3 - y)$

Раскроем скобки.

$5 - 15y = 33 - 11y$

Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а числа в правую.

$-15y + 11y = 33 - 5$

$-4y = 28$

$y = \frac{28}{-4}$

$y = -7$

Ответ: $-7$

г) $\frac{(y + 1)^2}{12} - \frac{1 - y^2}{24} = 4$

Приведем дроби к общему знаменателю 24.

$\frac{2(y + 1)^2}{24} - \frac{1 - y^2}{24} = 4$

$\frac{2(y + 1)^2 - (1 - y^2)}{24} = 4$

Умножим обе части уравнения на 24.

$2(y + 1)^2 - (1 - y^2) = 96$

Раскроем скобки. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$2(y^2 + 2y + 1) - 1 + y^2 = 96$

$2y^2 + 4y + 2 - 1 + y^2 = 96$

Приведем подобные слагаемые.

$3y^2 + 4y + 1 = 96$

Перенесем 96 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение.

$3y^2 + 4y + 1 - 96 = 0$

$3y^2 + 4y - 95 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-95) = 16 + 12 \cdot 95 = 16 + 1140 = 1156$

$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$

Найдем корни уравнения по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$y_1 = \frac{-4 + 34}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$

$y_2 = \frac{-4 - 34}{2 \cdot 3} = \frac{-38}{6} = -\frac{19}{3}$

Ответ: $5; -\frac{19}{3}$