Номер 216, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. 13. Целое уравнение и его корни - номер 216, страница 77.

Условие.

216. Первое число на 5 больше второго, а его куб на 3185 больше куба второго. Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим второе число переменной $x$.

Согласно условию задачи, первое число на 5 больше второго, следовательно, его можно выразить как $x + 5$.

Также из условия известно, что куб первого числа на 3185 больше куба второго. Составим уравнение на основе этого условия:

$(x + 5)^3 = x^3 + 3185$

Для решения уравнения раскроем скобки в левой части, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(x + 5)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 5 + 3 \cdot x \cdot 5^2 + 5^3 = x^3 + 15x^2 + 75x + 125$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:

$x^3 + 15x^2 + 75x + 125 = x^3 + 3185$

Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$15x^2 + 75x + 125 - 3185 = 0$

$15x^2 + 75x - 3060 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на их общий делитель 15:

$x^2 + 5x - 204 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-204) = 25 + 816 = 841$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{841}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 29}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{841}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 29}{2} = \frac{-34}{2} = -17$

Мы получили два возможных значения для второго числа, $x$. Следовательно, существуют две пары чисел, удовлетворяющие условию.

Если второе число равно 12, то первое число равно $12 + 5 = 17$.
Проверка: $17^3 - 12^3 = 4913 - 1728 = 3185$.

Если второе число равно -17, то первое число равно $-17 + 5 = -12$.
Проверка: $(-12)^3 - (-17)^3 = -1728 - (-4913) = -1728 + 4913 = 3185$.

Обе пары чисел являются решением задачи.

Ответ: 17 и 12, или -12 и -17.