Номер 222, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. 13. Целое уравнение и его корни - номер 222, страница 78.

Условие.

222. Решите уравнение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $(x^2 + 3)^2 - 11(x^2 + 3) + 28 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $x^2 + 3$. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2 + 3$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 11t + 28 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 11, а их произведение равно 28. Корни легко подбираются: $t_1 = 4$ и $t_2 = 7$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену для каждого найденного корня $t$.

1. При $t = 4$:

$x^2 + 3 = 4$

$x^2 = 4 - 3$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

2. При $t = 7$:

$x^2 + 3 = 7$

$x^2 = 7 - 3$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем еще два корня: $x_3 = 2$ и $x_4 = -2$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $-2; -1; 1; 2$.

б) $(x^2 - 4x)^2 + 9(x^2 - 4x) + 20 = 0$

Это уравнение также решается методом замены переменной. Пусть $t = x^2 - 4x$. Заменяем выражение в уравнении на $t$:

$t^2 + 9t + 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-9$, а произведение равно 20. Корни уравнения: $t_1 = -4$ и $t_2 = -5$.

Выполним обратную замену.

1. При $t = -4$:

$x^2 - 4x = -4$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Это выражение является полным квадратом: $(x - 2)^2 = 0$.

Отсюда $x - 2 = 0$, следовательно, $x = 2$.

2. При $t = -5$:

$x^2 - 4x = -5$

$x^2 - 4x + 5 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один корень.

Ответ: $2$.

в) $(x^2 + x)(x^2 + x - 5) = 84$

Для решения этого уравнения также воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = x^2 + x$. Подставим $t$ в уравнение:

$t(t - 5) = 84$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$t^2 - 5t = 84$

$t^2 - 5t - 84 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361 = 19^2$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 19}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 19}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Теперь выполним обратную замену.

1. При $t = 12$:

$x^2 + x = 12$

$x^2 + x - 12 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение $-12$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.

2. При $t = -7$:

$x^2 + x = -7$

$x^2 + x + 7 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 - 28 = -27$.

Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

В результате получаем два действительных корня для исходного уравнения.

Ответ: $-4; 3$.