Номер 229, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. 13. Целое уравнение и его корни - номер 229, страница 78.

Условие.

229. Найдите корни уравнения:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы справа остался ноль:

$y^7 - y^6 + 8y - 8 = 0$

Применим метод разложения на множители путем группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(y^7 - y^6) + (8y - 8) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой скобки:

$y^6(y - 1) + 8(y - 1) = 0$

Теперь вынесем общий для обоих слагаемых множитель $(y-1)$:

$(y - 1)(y^6 + 8) = 0$

Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это дает нам два уравнения:

1) $y - 1 = 0$, откуда следует $y = 1$.

2) $y^6 + 8 = 0$, откуда следует $y^6 = -8$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как возведение любого действительного числа в четную степень ($6$) дает неотрицательный результат.

Таким образом, у исходного уравнения есть только один действительный корень.

Ответ: $1$.

б)

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$u^7 - u^6 - 64u + 64 = 0$

Выполним разложение на множители методом группировки:

$(u^7 - u^6) - (64u - 64) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$u^6(u - 1) - 64(u - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(u-1)$ за скобки:

$(u - 1)(u^6 - 64) = 0$

Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $u - 1 = 0$, что дает корень $u = 1$.

2) $u^6 - 64 = 0$, что дает $u^6 = 64$. Извлекая корень шестой степени из обеих частей уравнения, получаем $u = \pm\sqrt[6]{64}$. Поскольку $2^6=64$, то $u = \pm 2$.

Таким образом, уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $-2; 1; 2$.