Номер 234, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

234. Решите уравнение:

а)

Данное уравнение является рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

1. Приравняем числитель к нулю: $5y^3 - 15y^2 - 2y + 6 = 0$.

Решим это уравнение, используя метод группировки:

$(5y^3 - 15y^2) - (2y - 6) = 0$

$5y^2(y - 3) - 2(y - 3) = 0$

$(y - 3)(5y^2 - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$y - 3 = 0$ или $5y^2 - 2 = 0$

$y_1 = 3$

$5y^2 = 2 \implies y^2 = \frac{2}{5} \implies y_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{2}{5}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{5}$

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), приравняв знаменатель к нулю и исключив эти значения:

$y^2 - 9 \neq 0$

$(y - 3)(y + 3) \neq 0$

$y \neq 3$ и $y \neq -3$

3. Сопоставим корни числителя с ОДЗ. Корень $y_1 = 3$ не удовлетворяет условию $y \neq 3$, поэтому он является посторонним. Корни $y_2 = \frac{\sqrt{10}}{5}$ и $y_3 = -\frac{\sqrt{10}}{5}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $y = \pm\frac{\sqrt{10}}{5}$.

б)

Решаем по аналогии с предыдущим пунктом. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю: $3y^3 - 12y^2 - y + 4 = 0$.

Сгруппируем слагаемые:

$(3y^3 - 12y^2) - (y - 4) = 0$

$3y^2(y - 4) - 1(y - 4) = 0$

$(y - 4)(3y^2 - 1) = 0$

Отсюда:

$y - 4 = 0$ или $3y^2 - 1 = 0$

$y_1 = 4$

$3y^2 = 1 \implies y^2 = \frac{1}{3} \implies y_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

2. Найдем ОДЗ:

$9y^4 - 1 \neq 0$

$(3y^2 - 1)(3y^2 + 1) \neq 0$

Выражение $3y^2 + 1$ всегда больше нуля при любом действительном $y$. Следовательно, ограничение накладывается только на первый множитель:

$3y^2 - 1 \neq 0 \implies y^2 \neq \frac{1}{3} \implies y \neq \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

3. Сравним корни с ОДЗ. Корни $y_{2,3} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$ не удовлетворяют ОДЗ, поэтому они посторонние. Корень $y_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $y = 4$.

в)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Решим уравнение, приравняв числитель к нулю: $6x^3 + 48x^2 - 2x - 16 = 0$.

Разделим все уравнение на 2 для упрощения: $3x^3 + 24x^2 - x - 8 = 0$.

Сгруппируем:

$(3x^3 + 24x^2) - (x + 8) = 0$

$3x^2(x + 8) - 1(x + 8) = 0$

$(x + 8)(3x^2 - 1) = 0$

Отсюда:

$x + 8 = 0$ или $3x^2 - 1 = 0$

$x_1 = -8$

$3x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

2. Найдем ОДЗ:

$x^2 - 64 \neq 0$

$(x - 8)(x + 8) \neq 0$

$x \neq 8$ и $x \neq -8$

3. Сравним корни с ОДЗ. Корень $x_1 = -8$ не удовлетворяет ОДЗ. Корни $x_{2,3} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю: $y^3 - 4y^2 - 6y + 24 = 0$.

Сгруппируем:

$(y^3 - 4y^2) - (6y - 24) = 0$

$y^2(y - 4) - 6(y - 4) = 0$

$(y - 4)(y^2 - 6) = 0$

Отсюда:

$y - 4 = 0$ или $y^2 - 6 = 0$

$y_1 = 4$

$y^2 = 6 \implies y_{2,3} = \pm\sqrt{6}$

2. Найдем ОДЗ:

$y^3 - 6y \neq 0$

$y(y^2 - 6) \neq 0$

Это означает, что $y \neq 0$ и $y^2 - 6 \neq 0$.

$y^2 \neq 6 \implies y \neq \pm\sqrt{6}$

Итак, ОДЗ: $y \neq 0, y \neq \sqrt{6}, y \neq -\sqrt{6}$.

3. Сравним корни с ОДЗ. Корни $y_{2,3} = \pm\sqrt{6}$ не удовлетворяют ОДЗ. Корень $y_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $y = 4$.