Номер 241, страница 83 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

241. При каких значениях a:

а) равны значения выражений $\frac{5a+7-28a^2}{20a}$ и a²;

б) являются противоположными числами значения выражений $\frac{2-18a^2-a}{3a}$ и 3a²?

а) Чтобы значения выражений были равны, необходимо приравнять их и решить полученное уравнение. Также необходимо учесть, что знаменатель дроби не может быть равен нулю.

Составим уравнение:

$\frac{5a + 7 - 28a^2}{20a} = a^2$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $20a \neq 0$, откуда следует, что $a \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $20a$ (так как $a \neq 0$):

$5a + 7 - 28a^2 = 20a \cdot a^2$

$5a + 7 - 28a^2 = 20a^3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные:

$-20a^3 - 28a^2 + 5a + 7 = 0$

Умножим уравнение на $-1$ для удобства:

$20a^3 + 28a^2 - 5a - 7 = 0$

Для решения этого кубического уравнения применим метод группировки:

$(20a^3 + 28a^2) - (5a + 7) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$4a^2(5a + 7) - 1(5a + 7) = 0$

Вынесем общий множитель $(5a + 7)$ за скобки:

$(4a^2 - 1)(5a + 7) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $4a^2 - 1 = 0 \implies 4a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{4} \implies a = \pm\frac{1}{2}$

2) $5a + 7 = 0 \implies 5a = -7 \implies a = -\frac{7}{5} = -1.4$

Все полученные значения $a_1 = -1.4$, $a_2 = -0.5$, $a_3 = 0.5$ удовлетворяют ОДЗ ($a \neq 0$).

Ответ: при $a = -1.4$, $a = -0.5$ и $a = 0.5$.

б) Значения выражений являются противоположными числами, если их сумма равна нулю.

Составим уравнение:

$\frac{2 - 18a^2 - a}{3a} + 3a^2 = 0$

ОДЗ: $3a \neq 0$, следовательно, $a \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $3a$:

$2 - 18a^2 - a + (3a^2)(3a) = 0$

$2 - 18a^2 - a + 9a^3 = 0$

Запишем уравнение в стандартном виде (в порядке убывания степеней $a$):

$9a^3 - 18a^2 - a + 2 = 0$

Применим метод группировки:

$(9a^3 - 18a^2) - (a - 2) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$9a^2(a - 2) - 1(a - 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(a - 2)$ за скобки:

$(9a^2 - 1)(a - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

1) $9a^2 - 1 = 0 \implies 9a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{9} \implies a = \pm\frac{1}{3}$

2) $a - 2 = 0 \implies a = 2$

Все полученные значения $a_1 = 2$, $a_2 = \frac{1}{3}$, $a_3 = -\frac{1}{3}$ удовлетворяют ОДЗ ($a \neq 0$).

Ответ: при $a = 2$, $a = \frac{1}{3}$ и $a = -\frac{1}{3}$.