Номер 248, страница 84 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

248. На строительстве работали две бригады. После 5 дней совместной работы вторую бригаду перевели на другой объект. Оставшуюся часть работы первая бригада закончила за 9 дней. За сколько дней могла бы выполнить всю работу каждая бригада, работая отдельно, если известно, что второй бригаде на выполнение всей работы потребовалось бы на 12 дней меньше, чем одной первой бригаде?

Примем весь объем работы за 1.

Пусть первая бригада, работая отдельно, может выполнить всю работу за $x$ дней. Тогда ее производительность (часть работы, выполняемая за один день) составляет $1/x$.

Пусть вторая бригада, работая отдельно, может выполнить всю работу за $y$ дней. Тогда ее производительность составляет $1/y$.

Из условия известно, что второй бригаде на выполнение всей работы потребовалось бы на 12 дней меньше, чем первой. Составим первое уравнение:

$y = x - 12$

Поскольку количество дней не может быть отрицательным, $y > 0$, следовательно, $x - 12 > 0$, что означает $x > 12$.

Две бригады работали вместе 5 дней. Их совместная производительность равна $1/x + 1/y$. За 5 дней они выполнили часть работы, равную:

$5 \cdot (1/x + 1/y)$

После этого первая бригада работала одна еще 9 дней и закончила оставшуюся работу. Часть работы, выполненная первой бригадой за 9 дней, равна:

$9 \cdot (1/x)$

Сумма этих двух частей работы равна всей работе, то есть 1. Составим второе уравнение:

$5 \cdot (1/x + 1/y) + 9 \cdot (1/x) = 1$

Упростим это уравнение:

$5/x + 5/y + 9/x = 1$

$14/x + 5/y = 1$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $y$ из первого уравнения ($y = x - 12$):

$14/x + 5/(x - 12) = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x - 12)$:

$\frac{14(x - 12) + 5x}{x(x - 12)} = 1$

Так как $x > 12$, то $x \neq 0$ и $x - 12 \neq 0$. Можем умножить обе части на знаменатель:

$14(x - 12) + 5x = x(x - 12)$

$14x - 168 + 5x = x^2 - 12x$

$19x - 168 = x^2 - 12x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 12x - 19x + 168 = 0$

$x^2 - 31x + 168 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 168 = 961 - 672 = 289$

$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{31 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{31 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{48}{2} = 24$

Корень $x_1 = 7$ не удовлетворяет условию $x > 12$, так как в этом случае время работы второй бригады $y = 7 - 12 = -5$ было бы отрицательным, что невозможно.

Следовательно, единственное верное решение — $x = 24$.

Теперь найдем время работы для второй бригады:

$y = x - 12 = 24 - 12 = 12$

Таким образом, первая бригада могла бы выполнить всю работу за 24 дня, а вторая — за 12 дней.

Ответ: первая бригада могла бы выполнить всю работу за 24 дня, а вторая бригада — за 12 дней.