Номер 252, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 252, страница 86.

Условие.

252. Из посёлка в город, до которого 150 км, выехали одновременно легковой и грузовой автомобили. Скорость легкового автомобиля была на 10 км/ч больше скорости грузового, поэтому он приехал в город на полчаса быстрее, чем грузовой автомобиль. Найдите скорость грузового автомобиля.

Решение 1.

Решение 8.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — это скорость грузового автомобиля. Согласно условию, скорость легкового автомобиля на 10 км/ч больше, следовательно, она составляет $(x + 10)$ км/ч. Расстояние между посёлком и городом равно 150 км.

Время, которое затратил на весь путь грузовой автомобиль, вычисляется по формуле $t = S/V$, где $S$ — расстояние, а $V$ — скорость. Таким образом, время в пути для грузовика: $t_{груз} = \frac{150}{x}$ часов.

Аналогично, время в пути для легкового автомобиля: $t_{легк} = \frac{150}{x+10}$ часов.

Известно, что легковой автомобиль приехал на полчаса (то есть на 0,5 часа) быстрее грузового. Это значит, что время в пути грузовика было на 0,5 часа больше времени легкового автомобиля. На основе этого можно составить уравнение:

$t_{груз} - t_{легк} = 0,5$

Подставим выражения для времени в уравнение:

$\frac{150}{x} - \frac{150}{x+10} = 0,5$

Теперь решим это уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+10)$:

$\frac{150(x+10) - 150x}{x(x+10)} = 0,5$

$\frac{150x + 1500 - 150x}{x^2 + 10x} = 0,5$

$\frac{1500}{x^2 + 10x} = 0,5$

Из этого следует (используя свойство пропорции), что:

$x^2 + 10x = \frac{1500}{0,5}$

$x^2 + 10x = 3000$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 10x - 3000 = 0$

Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1} = \frac{-10 + \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_{2} = \frac{-10 - \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

По смыслу задачи скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -60$ не подходит. Единственное решение, удовлетворяющее условию, — $x=50$.

Таким образом, скорость грузового автомобиля составляет 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.