Номер 255, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

255. Первый лыжник прошёл дистанцию $30\text{ км}$ на $\dfrac{1}{2}\text{ ч}$ быстрее, чем второй дистанцию $45\text{ км}$, хотя скорость второго была на $3\text{ км/ч}$ больше. За какое время первый лыжник прошёл $30\text{ км}$?

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого лыжника, а $t_1$ (ч) — его время в пути.Тогда $t_1 = \frac{30}{v_1}$.

Пусть $v_2$ (км/ч) — скорость второго лыжника, а $t_2$ (ч) — его время в пути.Тогда $t_2 = \frac{45}{v_2}$.

Из условия задачи известно, что скорость второго лыжника была на 3 км/ч больше скорости первого:$v_2 = v_1 + 3$.

Также известно, что первый лыжник прошёл дистанцию на $\frac{1}{2}$ часа (или 0,5 часа) быстрее, чем второй:$t_2 - t_1 = \frac{1}{2}$.

Подставим выражения для времени и скорости в это уравнение:$\frac{45}{v_2} - \frac{30}{v_1} = \frac{1}{2}$

Заменим $v_2$ на $v_1 + 3$:$\frac{45}{v_1 + 3} - \frac{30}{v_1} = \frac{1}{2}$

Приведём левую часть к общему знаменателю $v_1(v_1 + 3)$:$\frac{45v_1 - 30(v_1 + 3)}{v_1(v_1 + 3)} = \frac{1}{2}$

Упростим числитель:$\frac{45v_1 - 30v_1 - 90}{v_1^2 + 3v_1} = \frac{1}{2}$$\frac{15v_1 - 90}{v_1^2 + 3v_1} = \frac{1}{2}$

Используем свойство пропорции (перекрёстное умножение):$2(15v_1 - 90) = 1(v_1^2 + 3v_1)$$30v_1 - 180 = v_1^2 + 3v_1$

Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:$v_1^2 + 3v_1 - 30v_1 + 180 = 0$$v_1^2 - 27v_1 + 180 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант $D = b^2 - 4ac$:$D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180 = 729 - 720 = 9$

Найдём корни уравнения для $v_1$:$v_{1,1} = \frac{-(-27) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{27 + 3}{2} = 15$ км/ч.$v_{1,2} = \frac{-(-27) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{27 - 3}{2} = 12$ км/ч.

Оба корня положительны, поэтому существует два возможных решения. Найдём время первого лыжника для каждого случая. Вопрос задачи: "За какое время первый лыжник прошёл 30 км?". Это время $t_1 = \frac{30}{v_1}$.

Случай 1: Если скорость первого лыжника $v_1 = 15$ км/ч.
Время первого лыжника: $t_1 = \frac{30}{15} = 2$ часа.
Проверка: Скорость второго лыжника $v_2 = 15 + 3 = 18$ км/ч. Время второго лыжника $t_2 = \frac{45}{18} = 2.5$ часа. Разница во времени $t_2 - t_1 = 2.5 - 2 = 0.5$ часа. Условие выполняется.

Случай 2: Если скорость первого лыжника $v_1 = 12$ км/ч.
Время первого лыжника: $t_1 = \frac{30}{12} = 2.5$ часа.
Проверка: Скорость второго лыжника $v_2 = 12 + 3 = 15$ км/ч. Время второго лыжника $t_2 = \frac{45}{15} = 3$ часа. Разница во времени $t_2 - t_1 = 3 - 2.5 = 0.5$ часа. Условие также выполняется.

Таким образом, оба варианта являются корректными решениями задачи.

Ответ: 2 часа или 2,5 часа.