Номер 260, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 260, страница 87.

Условие.

260. Две швеи, работая вместе, выполнят полученный заказ за 6 дней. За сколько дней выполнит заказ каждая швея, работая отдельно, если одной из них для этого потребуется на 5 дней больше, чем другой?

Решение 1.

Решение 8.

Это задача на совместную работу. Примем весь объем работы (весь заказ) за 1.

Пусть $x$ — количество дней, за которое первая (более быстрая) швея выполнит весь заказ, работая в одиночку. Тогда ее производительность (часть заказа, выполняемая за один день) равна $\frac{1}{x}$.

Из условия известно, что второй швее потребуется на 5 дней больше. Значит, она выполнит заказ за $x + 5$ дней. Ее производительность равна $\frac{1}{x+5}$.

Когда швеи работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}$.

По условию, работая вместе, они выполняют заказ за 6 дней. Это означает, что их совместная производительность равна $\frac{1}{6}$ заказа в день.

Составим и решим уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x+5)$:

$\frac{x+5+x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$6 \cdot (2x+5) = 1 \cdot (x^2+5x)$

$12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$

$x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Количество дней не может быть отрицательным, поэтому корень $x_2 = -3$ не является решением задачи.

Следовательно, первой швее для выполнения заказа потребуется 10 дней.

Второй швее потребуется на 5 дней больше: $10 + 5 = 15$ дней.

Ответ: одна швея выполнит заказ за 10 дней, а другая — за 15 дней.