Номер 2, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Контрольные вопросы и задания - номер 2, страница 87.

Условие.

2. Как найти степень целого уравнения?

Решение 1.

Решение 8.

Чтобы найти степень целого уравнения, необходимо определить наивысшую степень переменной в этом уравнении после того, как оно будет приведено к стандартному виду $P(x) = 0$. Процесс состоит из двух основных шагов.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

Целое уравнение — это уравнение, которое можно представить в виде $P(x) = 0$, где $P(x)$ — многочлен. Стандартный вид многочлена от одной переменной $x$ выглядит так: $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ где $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ — это числовые коэффициенты, причём старший коэффициент $a_n \neq 0$. Для приведения уравнения к этому виду необходимо:
1. Перенести все его члены в одну часть (обычно в левую), чтобы в другой части остался ноль.
2. Раскрыть все скобки.
3. Привести подобные слагаемые (то есть сложить или вычесть члены с одинаковыми степенями переменной).

Ответ: Для нахождения степени уравнение должно быть преобразовано к виду $P(x)=0$, где $P(x)$ — многочлен в стандартной форме (все скобки раскрыты и подобные слагаемые приведены).

Шаг 2: Определение степени

Когда уравнение записано в стандартном виде $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 = 0$, его степенью является наибольший показатель степени $n$, коэффициент при котором ($a_n$) не равен нулю.

Ответ: Степень уравнения — это значение наибольшего показателя степени переменной с ненулевым коэффициентом в его стандартной форме.

Примеры нахождения степени

Пример А: Дано уравнение $5x^4 - 8x^3 + x - 11 = 0$.

Это уравнение уже представлено в стандартном виде. Переменная $x$ имеет степени $4$, $3$, $1$ и $0$ (так как $-11 = -11x^0$). Наибольшая из этих степеней — $4$.

Ответ: Степень данного уравнения равна 4.

Пример Б: Найти степень уравнения $(x^2 + 2)^2 - x^4 = 8x$.

1. Приводим уравнение к стандартному виду. Сначала переносим всё в левую часть:
$(x^2 + 2)^2 - x^4 - 8x = 0$
2. Теперь раскрываем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$( (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 2 + 2^2 ) - x^4 - 8x = 0$
$(x^4 + 4x^2 + 4) - x^4 - 8x = 0$
3. Приводим подобные слагаемые:
$(x^4 - x^4) + 4x^2 - 8x + 4 = 0$
$0 \cdot x^4 + 4x^2 - 8x + 4 = 0$
$4x^2 - 8x + 4 = 0$
4. Уравнение приведено к стандартному виду. Наибольшая степень переменной $x$ с ненулевым коэффициентом равна $2$.

Ответ: Степень данного уравнения равна 2.

Примечание: Этот пример показывает, как важно упрощать выражение. Изначально могло показаться, что степень уравнения 4, но член с $x^4$ сократился.