Номер 268, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной - номер 268, страница 91.

Условие.

268. Решите неравенство:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Исходное неравенство: $x^2 < 16$. Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести неравенство к виду $f(x) < 0$, получим $x^2 - 16 < 0$. Для решения этого квадратичного неравенства методом интервалов найдем сначала корни соответствующего уравнения $x^2 - 16 = 0$. Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $(x-4)(x+4)=0$. Отсюда получаем корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. График функции $y = x^2 - 16$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, значения функции отрицательны (меньше нуля) на интервале между корнями. Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-4; 4)$.
Ответ: $(-4; 4)$.

б) Исходное неравенство: $x^2 \ge 3$. Перенесем 3 в левую часть: $x^2 - 3 \ge 0$. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3 = 0$. Корнями являются $x_1 = -\sqrt{3}$ и $x_2 = \sqrt{3}$. График функции $y = x^2 - 3$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции больше или равны нулю (неотрицательны) на промежутках вне корней, включая сами корни. Следовательно, решение неравенства — это объединение двух лучей: $x \le -\sqrt{3}$ или $x \ge \sqrt{3}$.
Ответ: $(-\infty; -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}; \infty)$.

в) Исходное неравенство: $0,2x^2 > 1,8$. Разделим обе части неравенства на положительное число 0,2, при этом знак неравенства не изменится: $x^2 > \frac{1,8}{0,2}$, что равносильно $x^2 > 9$. Перенесем 9 в левую часть: $x^2 - 9 > 0$. Разложим на множители: $(x-3)(x+3) > 0$. Корнями уравнения $(x-3)(x+3)=0$ являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Так как ветви параболы $y=x^2-9$ направлены вверх, значения функции положительны на интервалах вне корней. Таким образом, решение неравенства: $x < -3$ или $x > 3$.
Ответ: $(-\infty; -3) \cup (3; \infty)$.

г) Исходное неравенство: $-5x^2 \le x$. Перенесем все члены в одну часть, например, в правую, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным: $0 \le 5x^2 + x$. Перепишем это в более привычном виде: $5x^2 + x \ge 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(5x + 1) \ge 0$. Найдем корни уравнения $x(5x + 1) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1/5 = -0,2$. График функции $y = 5x^2 + x$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции неотрицательны на промежутках вне корней, включая сами корни. Следовательно, решением является объединение промежутков $x \le -1/5$ и $x \ge 0$.
Ответ: $(-\infty; -1/5] \cup [0; \infty)$.

д) Исходное неравенство: $3x^2 < -2x$. Перенесем все члены в левую часть: $3x^2 + 2x < 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(3x + 2) < 0$. Найдем корни уравнения $x(3x + 2) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2/3$. График функции $y = 3x^2 + 2x$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны на интервале между корнями. Следовательно, решение неравенства — это интервал $(-2/3; 0)$.
Ответ: $(-2/3; 0)$.

е) Исходное неравенство: $7x < x^2$. Перенесем $7x$ в правую часть: $0 < x^2 - 7x$. Перепишем в более привычном виде: $x^2 - 7x > 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 7) > 0$. Найдем корни уравнения $x(x - 7) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$. График функции $y = x^2 - 7x$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны на интервалах вне корней. Следовательно, решением является объединение интервалов $x < 0$ и $x > 7$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (7; \infty)$.