Номер 274, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной - номер 274, страница 91.

Условие.

274. Найдите область определения функции:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = \sqrt{12x - 3x^2}$

Область определения функции, содержащей квадратный корень, задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В данном случае необходимо решить неравенство:

$12x - 3x^2 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $12x - 3x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(4 - x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$3x = 0 \implies x_1 = 0$

$4 - x = 0 \implies x_2 = 4$

Графиком функции $f(x) = 12x - 3x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-3 < 0$). Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на промежутке между своими корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является отрезок $[0; 4]$.

Ответ: $D(y) = [0; 4]$.

б) $y = \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 12x + 18}}$

Область определения данной функции определяется двумя условиями: во-первых, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, и во-вторых, знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Так как корень находится в знаменателе, эти два условия объединяются в одно: подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.

$2x^2 - 12x + 18 > 0$

Разделим обе части неравенства на 2, чтобы упростить его:

$x^2 - 6x + 9 > 0$

Заметим, что левая часть неравенства представляет собой полный квадрат разности:

$(x - 3)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только в том случае, когда $x - 3 = 0$, то есть при $x = 3$.

Следовательно, строгое неравенство $(x - 3)^2 > 0$ выполняется для всех действительных значений $x$, кроме $x = 3$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.