Номер 277, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Решение неравенств второй степени с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 277, страница 92.

Условие.

277. Докажите, что:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Докажите, что $x^2 + 7x + 1 > -x^2 + 10x - 1$ при любом $x$.

Решение:

Для доказательства неравенства перенесем все его члены в левую часть:

$x^2 + 7x + 1 - (-x^2 + 10x - 1) > 0$

$x^2 + 7x + 1 + x^2 - 10x + 1 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + x^2) + (7x - 10x) + (1 + 1) > 0$

$2x^2 - 3x + 2 > 0$

Теперь нам нужно доказать, что полученное неравенство верно при любом значении $x$. Рассмотрим квадратичную функцию $y = 2x^2 - 3x + 2$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 2 > 0$.

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $2x^2 - 3x + 2 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс ($Ox$). Поскольку ветви параболы направлены вверх, вся парабола расположена выше оси абсцисс. Следовательно, выражение $2x^2 - 3x + 2$ принимает только положительные значения при любом $x$.

Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

б) Докажите, что $-2x^2 + 10x < 18 - 2x$ при $x \neq 3$.

Решение:

Для доказательства неравенства перенесем все его члены в одну часть. Удобнее перенести в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$0 < 18 - 2x - (-2x^2 + 10x)$

$0 < 18 - 2x + 2x^2 - 10x$

Приведем подобные слагаемые:

$0 < 2x^2 - 12x + 18$

Разделим обе части неравенства на 2 (знак неравенства при этом не меняется):

$0 < x^2 - 6x + 9$

Выражение в правой части является полным квадратом разности:

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$0 < (x - 3)^2$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только в том случае, когда $x - 3 = 0$, то есть при $x = 3$.

По условию задачи $x \neq 3$. Это означает, что основание степени $(x-3)$ не равно нулю. Следовательно, его квадрат $(x - 3)^2$ всегда будет строго больше нуля.

Таким образом, исходное неравенство доказано для всех $x \neq 3$.

Ответ: Доказано.