Номер 278, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной - номер 278, страница 92.

Условие.

278. Одна сторона прямоугольника на 7 см больше другой. Какой может быть меньшая сторона, если площадь прямоугольника не превосходит 60 см²?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см. Поскольку одна сторона на 7 см больше другой, то большая сторона равна $(x + 7)$ см.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение длин его сторон: $S = x(x + 7)$ см?.

По условию задачи, площадь не превосходит 60 см?. Это означает, что площадь меньше или равна 60. Составим и решим неравенство: $x(x + 7) \le 60$

Для решения раскроем скобки и приведем неравенство к стандартному виду: $x^2 + 7x \le 60$ $x^2 + 7x - 60 \le 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 7x - 60 = 0$ с помощью дискриминанта. $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289$ $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12$ $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Мы решаем неравенство $x^2 + 7x - 60 \le 0$. Графиком функции $y = x^2 + 7x - 60$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Значения функции меньше или равны нулю на промежутке между корнями (включая корни). Таким образом, решением неравенства является отрезок: $-12 \le x \le 5$

Так как $x$ — это длина стороны прямоугольника, она не может быть отрицательной или равной нулю, то есть должно выполняться условие $x > 0$.

Найдем пересечение двух условий: $-12 \le x \le 5$ и $x > 0$. Общим решением будет полуинтервал: $0 < x \le 5$

Следовательно, меньшая сторона прямоугольника может быть любым числом, которое больше 0 и не превышает 5.

Ответ: меньшая сторона может быть больше 0 см, но не более 5 см.