Номер 275, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной - номер 275, страница 91.

Условие.

275. (Для работы в парах.) Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

1) Обсудите, при каком условии неравенство ax² + bx + c › 0, где a, b, c — некоторые числа, верно при любом значении переменной x. Укажите аналогичные условия для неравенства ax² + bx + c ‹ 0.

2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенств, и исправьте ошибки, если они допущены.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Рассмотрим квадратичное неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$ или $ax^2 + bx + c < 0$. Левая часть неравенства является квадратичным трехчленом, графиком функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола. Знак этого выражения при всех значениях переменной $x$ зависит от двух факторов: знака старшего коэффициента $a$ (который определяет направление ветвей параболы) и значения дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ (который определяет количество точек пересечения параболы с осью абсцисс).

Условия для неравенства $ax^2 + bx + c > 0$:

Чтобы неравенство было верным для любого значения $x$, график функции $y = ax^2 + bx + c$ должен полностью находиться выше оси Ox. Это возможно только при одновременном выполнении двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вверх, что означает $a > 0$.
2. Парабола не должна пересекать ось Ox, то есть у квадратного трехчлена не должно быть действительных корней. Это означает, что дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.

Таким образом, для строгого неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ условия: $a > 0$ и $D = b^2 - 4ac < 0$.

Для нестрогого неравенства $ax^2 + bx + c \ge 0$ парабола может касаться оси Ox, поэтому условие для дискриминанта смягчается: $D \le 0$. Условия: $a > 0$ и $D \le 0$.

Условия для неравенства $ax^2 + bx + c < 0$:

Чтобы неравенство было верным для любого значения $x$, график функции $y = ax^2 + bx + c$ должен полностью находиться ниже оси Ox. Это возможно только при одновременном выполнении двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вниз, что означает $a < 0$.
2. Парабола не должна пересекать ось Ox, то есть у квадратного трехчлена не должно быть действительных корней. Это означает, что дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.

Таким образом, для строгого неравенства $ax^2 + bx + c < 0$ условия: $a < 0$ и $D = b^2 - 4ac < 0$.

Для нестрогого неравенства $ax^2 + bx + c \le 0$ парабола может касаться оси Ox, поэтому условие для дискриминанта смягчается: $D \le 0$. Условия: $a < 0$ и $D \le 0$.

Ответ: Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ верно при любом $x$, если $a > 0$ и $D < 0$. Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ верно при любом $x$, если $a < 0$ и $D < 0$.

а) Докажем, что $7x^2 - 10x + 7 > 0$ при любом $x$.

Рассмотрим функцию $y = 7x^2 - 10x + 7$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициенты: $a = 7$, $b = -10$, $c = 7$.

1. Определим направление ветвей параболы. Так как старший коэффициент $a = 7 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант, чтобы определить, есть ли у параболы точки пересечения с осью Ox: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 100 - 196 = -96$.

Поскольку $D = -96 < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена выше оси Ox. Это означает, что значение выражения $7x^2 - 10x + 7$ всегда положительно.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажем, что $-6y^2 + 11y - 10 < 0$ при любом $y$.

Рассмотрим функцию $f(y) = -6y^2 + 11y - 10$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициенты: $a = -6$, $b = 11$, $c = -10$.

1. Определим направление ветвей параболы. Так как старший коэффициент $a = -6 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-10) = 121 - 240 = -119$.

Поскольку $D = -119 < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Oy (в данном случае ось переменной $y$).

Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось, вся парабола расположена ниже оси. Это означает, что значение выражения $-6y^2 + 11y - 10$ всегда отрицательно.

Ответ: Неравенство доказано.

в) Докажем, что $4x^2 + 12x + 9 \ge 0$ при любом $x$.

Рассмотрим выражение $4x^2 + 12x + 9$. Можно заметить, что это формула квадрата суммы: $4x^2 + 12x + 9 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x + 3)^2$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(2x + 3)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

Альтернативное решение через дискриминант: Рассмотрим функцию $y = 4x^2 + 12x + 9$. Коэффициент $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх. $D = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$. Так как $D=0$, парабола касается оси Ox в одной точке (в своей вершине) и расположена выше нее. Следовательно, $4x^2 + 12x + 9 \ge 0$ для всех $x$.

Ответ: Неравенство доказано.

г) Докажем, что $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 \ge 0$ при любом $x$.

Выражение $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64$ является полным квадратом разности: $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 = (\frac{1}{2}x)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot 8 + 8^2 = (\frac{1}{2}x - 8)^2$.

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(\frac{1}{2}x - 8)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

Альтернативное решение через дискриминант: Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{4}x^2 - 8x + 64$. Коэффициент $a = \frac{1}{4} > 0$, ветви параболы направлены вверх. $D = (-8)^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 64 = 64 - 64 = 0$. Так как $D=0$, парабола касается оси Ox и расположена выше нее. Следовательно, $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 \ge 0$ для всех $x$.

Ответ: Неравенство доказано.

д) Докажем, что $-9y^2 + 6y - 1 \le 0$ при любом $y$.

Вынесем минус за скобки: $-(9y^2 - 6y + 1)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности: $9y^2 - 6y + 1 = (3y)^2 - 2 \cdot (3y) \cdot 1 + 1^2 = (3y - 1)^2$.

Таким образом, исходное выражение равно $-(3y - 1)^2$. Поскольку $(3y - 1)^2 \ge 0$ для любого $y$, то выражение $-(3y - 1)^2$ всегда будет меньше или равно нулю.

Альтернативное решение через дискриминант: Рассмотрим функцию $f(y) = -9y^2 + 6y - 1$. Коэффициент $a = -9 < 0$, ветви параболы направлены вниз. $D = 6^2 - 4 \cdot (-9) \cdot (-1) = 36 - 36 = 0$. Так как $D=0$, парабола касается оси Oy в своей вершине и расположена ниже нее. Следовательно, $-9y^2 + 6y - 1 \le 0$ для всех $y$.

Ответ: Неравенство доказано.

е) Докажем, что $-5x^2 + 8x - 5 < 0$ при любом $x$.

Рассмотрим функцию $y = -5x^2 + 8x - 5$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициенты: $a = -5$, $b = 8$, $c = -5$.

1. Определим направление ветвей параболы. Так как старший коэффициент $a = -5 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-5) = 64 - 100 = -36$.

Поскольку $D = -36 < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена ниже оси Ox. Это означает, что значение выражения $-5x^2 + 8x - 5$ всегда отрицательно.

Ответ: Неравенство доказано.