Номер 269, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

269. Решите неравенство:

а) $0.01x^2 \le 1$

Для решения данного неравенства разделим обе части на $0.01$:

$x^2 \le \frac{1}{0.01}$

$x^2 \le 100$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - 100 \le 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 10)(x + 10) \le 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 10)(x + 10) = 0$. Корнями являются $x_1 = 10$ и $x_2 = -10$.

Графиком функции $y = x^2 - 100$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $-10 \le x \le 10$.

Ответ: $x \in [-10; 10]$.

б) $\frac{1}{2}x^2 > 12$

Умножим обе части неравенства на 2:

$x^2 > 24$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - 24 > 0$

Разложим на множители:

$(x - \sqrt{24})(x + \sqrt{24}) > 0$

Упростим корень: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

$(x - 2\sqrt{6})(x + 2\sqrt{6}) > 0$

Корни соответствующего уравнения: $x_1 = 2\sqrt{6}$ и $x_2 = -2\sqrt{6}$.

Графиком функции $y = x^2 - 24$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется на промежутках вне корней.

Таким образом, решение: $x < -2\sqrt{6}$ или $x > 2\sqrt{6}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2\sqrt{6}) \cup (2\sqrt{6}; \infty)$.

в) $4x \le -x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 4x \le 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 4) \le 0$

Корни соответствующего уравнения $x(x+4)=0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $y = x^2 + 4x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение: $-4 \le x \le 0$.

Ответ: $x \in [-4; 0]$.

г) $\frac{1}{3}x^2 > \frac{1}{9}$

Умножим обе части неравенства на 9, чтобы избавиться от дробей:

$9 \cdot \frac{1}{3}x^2 > 9 \cdot \frac{1}{9}$

$3x^2 > 1$

Разделим на 3:

$x^2 > \frac{1}{3}$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - \frac{1}{3} > 0$

Разложим на множители:

$(x - \sqrt{\frac{1}{3}})(x + \sqrt{\frac{1}{3}}) > 0$

Упростим корень: $\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$(x - \frac{\sqrt{3}}{3})(x + \frac{\sqrt{3}}{3}) > 0$

Корни соответствующего уравнения: $x_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Графиком функции $y = x^2 - \frac{1}{3}$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется на промежутках вне корней.

Таким образом, решение: $x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$ или $x > \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}; \infty)$.

д) $5x^2 > 2x$

Перенесем все члены в левую часть:

$5x^2 - 2x > 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 2) > 0$

Корни соответствующего уравнения $x(5x - 2) = 0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{5}$.

Графиком функции $y = 5x^2 - 2x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется на промежутках вне корней.

Таким образом, решение: $x < 0$ или $x > \frac{2}{5}$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{5}; \infty)$.

е) $-0.3x < 0.6x^2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 < 0.6x^2 + 0.3x$

Или, что то же самое:

$0.6x^2 + 0.3x > 0$

Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$6x^2 + 3x > 0$

Разделим обе части на 3:

$2x^2 + x > 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x + 1) > 0$

Корни соответствующего уравнения $x(2x+1)=0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.

Графиком функции $y = 2x^2 + x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется на промежутках вне корней.

Таким образом, решение: $x < -\frac{1}{2}$ или $x > 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.5) \cup (0; \infty)$.