Номер 4, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Контрольные вопросы и задания - номер 4, страница 87.

Условие.

4. Какое уравнение называется дробным рациональным? На примере уравнения $\frac{4}{x-1}+\frac{1}{x-3}=\frac{x^2-7}{x^2-4x+3}$ объясните, как решают дробные рациональные уравнения.

Решение 1.

Решение 8.

Какое уравнение называется дробным рациональным?

Дробным рациональным уравнением называется уравнение, в котором левая и/или правая части являются дробно-рациональными выражениями. Другими словами, это уравнение, содержащее переменную (неизвестное) в знаменателе дроби. Общий вид такого уравнения после переноса всех членов в левую часть можно представить как $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены, и многочлен $Q(x)$ содержит переменную.

Ответ: Дробное рациональное уравнение — это уравнение, которое содержит переменную в знаменателе дроби.

На примере уравнения $\frac{4}{x-1} + \frac{1}{x-3} = \frac{x^2-7}{x^2-4x+3}$ объясните, как решают дробные рациональные уравнения.

Решение дробных рациональных уравнений выполняется по следующему алгоритму:

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ). Необходимо найти все значения переменной, при которых знаменатели всех дробей в уравнении не равны нулю.

   Для нашего уравнения $\frac{4}{x-1} + \frac{1}{x-3} = \frac{x^2-7}{x^2-4x+3}$ найдем ОДЗ:

   • Знаменатель первой дроби: $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.
   • Знаменатель второй дроби: $x-3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.
   • Знаменатель третьей дроби: $x^2-4x+3 \neq 0$. Разложим квадратный трехчлен на множители, найдя корни уравнения $x^2-4x+3=0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=3$. Таким образом, $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$. Это условие не вводит новых ограничений.

   Итак, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq 3$.

2. Приведение всех дробей к общему знаменателю. Находим наименьший общий знаменатель для всех дробей в уравнении и приводим их к этому знаменателю.

   В нашем случае общий знаменатель — это $(x-1)(x-3)$, так как $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$.

   $\frac{4(x-3)}{(x-1)(x-3)} + \frac{1(x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{x^2-7}{(x-1)(x-3)}$

3. Переход к целому уравнению. После приведения к общему знаменателю, мы можем отбросить знаменатель и приравнять числители. Это равносильный переход в рамках найденной ОДЗ.

   $\frac{4(x-3) + (x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{x^2-7}{(x-1)(x-3)}$

   Приравниваем числители:

   $4(x-3) + (x-1) = x^2-7$

4. Решение полученного целого уравнения. Раскрываем скобки и решаем полученное, как правило, полиномиальное уравнение.

   $4x - 12 + x - 1 = x^2 - 7$

   $5x - 13 = x^2 - 7$

   Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

   $0 = x^2 - 5x - 7 + 13$

   $x^2 - 5x + 6 = 0$

   Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни:

   $x_1 = 2$, $x_2 = 3$

5. Проверка корней. Необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ. Корни, которые не входят в ОДЗ, являются посторонними и отбрасываются.
   • Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 \neq 1$ и $2 \neq 3$.
   • Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $x \neq 3$. Следовательно, $x=3$ — посторонний корень.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один корень.

Ответ: $x=2$.