Номер 4, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый

ISBN: 978-5-09-112135-3

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 9 классе

Контрольные вопросы и задания. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 4, страница 87.

№4 (с. 87)
Условие. №4 (с. 87)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 87, номер 4, Условие

4. Какое уравнение называется дробным рациональным? На примере уравнения 4x-1+1x-3=x2-7x2-4x+3 объясните, как решают дробные рациональные уравнения.

Решение 1. №4 (с. 87)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 87, номер 4, Решение 1 Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 87, номер 4, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 8. №4 (с. 87)

Какое уравнение называется дробным рациональным?

Дробным рациональным уравнением называется уравнение, в котором левая и/или правая части являются дробно-рациональными выражениями. Другими словами, это уравнение, содержащее переменную (неизвестное) в знаменателе дроби. Общий вид такого уравнения после переноса всех членов в левую часть можно представить как $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены, и многочлен $Q(x)$ содержит переменную.

Ответ: Дробное рациональное уравнение — это уравнение, которое содержит переменную в знаменателе дроби.

На примере уравнения $\frac{4}{x-1} + \frac{1}{x-3} = \frac{x^2-7}{x^2-4x+3}$ объясните, как решают дробные рациональные уравнения.

Решение дробных рациональных уравнений выполняется по следующему алгоритму:

  1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ). Необходимо найти все значения переменной, при которых знаменатели всех дробей в уравнении не равны нулю.

    Для нашего уравнения $\frac{4}{x-1} + \frac{1}{x-3} = \frac{x^2-7}{x^2-4x+3}$ найдем ОДЗ:

    • Знаменатель первой дроби: $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.
    • Знаменатель второй дроби: $x-3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.
    • Знаменатель третьей дроби: $x^2-4x+3 \neq 0$. Разложим квадратный трехчлен на множители, найдя корни уравнения $x^2-4x+3=0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=3$. Таким образом, $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$. Это условие не вводит новых ограничений.

    Итак, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq 3$.

  2. Приведение всех дробей к общему знаменателю. Находим наименьший общий знаменатель для всех дробей в уравнении и приводим их к этому знаменателю.

    В нашем случае общий знаменатель — это $(x-1)(x-3)$, так как $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$.

    $\frac{4(x-3)}{(x-1)(x-3)} + \frac{1(x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{x^2-7}{(x-1)(x-3)}$

  3. Переход к целому уравнению. После приведения к общему знаменателю, мы можем отбросить знаменатель и приравнять числители. Это равносильный переход в рамках найденной ОДЗ.

    $\frac{4(x-3) + (x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{x^2-7}{(x-1)(x-3)}$

    Приравниваем числители:

    $4(x-3) + (x-1) = x^2-7$

  4. Решение полученного целого уравнения. Раскрываем скобки и решаем полученное, как правило, полиномиальное уравнение.

    $4x - 12 + x - 1 = x^2 - 7$

    $5x - 13 = x^2 - 7$

    Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

    $0 = x^2 - 5x - 7 + 13$

    $x^2 - 5x + 6 = 0$

    Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни:

    $x_1 = 2$, $x_2 = 3$

  5. Проверка корней. Необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ. Корни, которые не входят в ОДЗ, являются посторонними и отбрасываются.
    • Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 \neq 1$ и $2 \neq 3$.
    • Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $x \neq 3$. Следовательно, $x=3$ — посторонний корень.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один корень.

Ответ: $x=2$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 87 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 87), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.