Номер 4, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Контрольные вопросы и задания. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 4, страница 87.
№4 (с. 87)
Условие. №4 (с. 87)
скриншот условия

4. Какое уравнение называется дробным рациональным? На примере уравнения объясните, как решают дробные рациональные уравнения.
Решение 1. №4 (с. 87)


Решение 8. №4 (с. 87)
Какое уравнение называется дробным рациональным?
Дробным рациональным уравнением называется уравнение, в котором левая и/или правая части являются дробно-рациональными выражениями. Другими словами, это уравнение, содержащее переменную (неизвестное) в знаменателе дроби. Общий вид такого уравнения после переноса всех членов в левую часть можно представить как $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены, и многочлен $Q(x)$ содержит переменную.
Ответ: Дробное рациональное уравнение — это уравнение, которое содержит переменную в знаменателе дроби.
На примере уравнения $\frac{4}{x-1} + \frac{1}{x-3} = \frac{x^2-7}{x^2-4x+3}$ объясните, как решают дробные рациональные уравнения.
Решение дробных рациональных уравнений выполняется по следующему алгоритму:
- Нахождение области допустимых значений (ОДЗ). Необходимо найти все значения переменной, при которых знаменатели всех дробей в уравнении не равны нулю.
Для нашего уравнения $\frac{4}{x-1} + \frac{1}{x-3} = \frac{x^2-7}{x^2-4x+3}$ найдем ОДЗ:
- Знаменатель первой дроби: $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.
- Знаменатель второй дроби: $x-3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.
- Знаменатель третьей дроби: $x^2-4x+3 \neq 0$. Разложим квадратный трехчлен на множители, найдя корни уравнения $x^2-4x+3=0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=3$. Таким образом, $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$. Это условие не вводит новых ограничений.
Итак, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq 3$.
- Приведение всех дробей к общему знаменателю. Находим наименьший общий знаменатель для всех дробей в уравнении и приводим их к этому знаменателю.
В нашем случае общий знаменатель — это $(x-1)(x-3)$, так как $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$.
$\frac{4(x-3)}{(x-1)(x-3)} + \frac{1(x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{x^2-7}{(x-1)(x-3)}$
- Переход к целому уравнению. После приведения к общему знаменателю, мы можем отбросить знаменатель и приравнять числители. Это равносильный переход в рамках найденной ОДЗ.
$\frac{4(x-3) + (x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{x^2-7}{(x-1)(x-3)}$
Приравниваем числители:
$4(x-3) + (x-1) = x^2-7$
- Решение полученного целого уравнения. Раскрываем скобки и решаем полученное, как правило, полиномиальное уравнение.
$4x - 12 + x - 1 = x^2 - 7$
$5x - 13 = x^2 - 7$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$0 = x^2 - 5x - 7 + 13$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни:
$x_1 = 2$, $x_2 = 3$
- Проверка корней. Необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ. Корни, которые не входят в ОДЗ, являются посторонними и отбрасываются.
- Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 \neq 1$ и $2 \neq 3$.
- Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $x \neq 3$. Следовательно, $x=3$ — посторонний корень.
Таким образом, исходное уравнение имеет только один корень.
Ответ: $x=2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 87 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 87), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.