Номер 3, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Контрольные вопросы и задания. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 3, страница 87.
№3 (с. 87)
Условие. №3 (с. 87)
скриншот условия

3. Дайте определение биквадратного уравнения. Объясните, как решают биквадратное уравнение.
Решение 1. №3 (с. 87)

Решение 8. №3 (с. 87)
Дайте определение биквадратного уравнения.
Биквадратным уравнением называется уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$ и $c$ — числовые коэффициенты, причём старший коэффициент $a \neq 0$.
Ключевая особенность такого уравнения заключается в том, что оно, будучи уравнением четвёртой степени, содержит неизвестное только в чётных степенях (четвёртой и второй). Это позволяет свести его к квадратному уравнению.
Ответ: Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a, b, c$ — коэффициенты и $a \neq 0$.
Объясните, как решают биквадратное уравнение.
Биквадратные уравнения решают методом введения новой переменной (или методом замены). Суть метода состоит в том, чтобы свести исходное уравнение к более простому — квадратному.
Алгоритм решения биквадратного уравнения:
- Ввести новую переменную. В уравнении $ax^4 + bx^2 + c = 0$ делается замена $t = x^2$. Поскольку $x^4 = (x^2)^2 = t^2$, исходное уравнение преобразуется к виду $at^2 + bt + c = 0$. Важно отметить, что $t$ не может быть отрицательным, так как $t = x^2 \ge 0$.
- Решить полученное квадратное уравнение. Уравнение $at^2 + bt + c = 0$ решается относительно переменной $t$. Чаще всего для этого используется формула корней квадратного уравнения через дискриминант: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
- Проанализировать корни для $t$.
- Если квадратное уравнение для $t$ не имеет действительных корней (дискриминант $D < 0$), то и исходное биквадратное уравнение не имеет действительных корней.
- Если корни $t_1$ и $t_2$ найдены, то для дальнейшего решения отбираются только неотрицательные значения, так как должно выполняться условие $t \ge 0$. Если все найденные корни $t$ отрицательны, биквадратное уравнение не имеет действительных решений.
- Сделать обратную замену. Для каждого подходящего (неотрицательного) корня $t_k$ решается уравнение $x^2 = t_k$.
- Если $t_k = 0$, то $x^2 = 0$, что даёт один корень $x=0$.
- Если $t_k > 0$, то $x^2 = t_k$, что даёт два корня $x = \sqrt{t_k}$ и $x = -\sqrt{t_k}$.
- Записать ответ. Все полученные значения $x$ являются корнями исходного биквадратного уравнения. Их может быть от нуля до четырёх.
Пример решения уравнения $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$:
1. Сделаем замену: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид: $t^2 - 5t + 4 = 0$.
2. Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.
3. Оба корня положительные, поэтому они оба подходят.
4. Выполним обратную замену:
- Если $x^2 = 1$, то $x = \pm 1$.
- Если $x^2 = 4$, то $x = \pm 2$.
5. В результате получаем четыре корня: $-2, -1, 1, 2$.
Ответ: Для решения биквадратного уравнения $ax^4 + bx^2 + c = 0$ нужно выполнить замену $t = x^2$, решить полученное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ для $t$ и для каждого неотрицательного корня $t_k$ найти $x$ из уравнения $x^2 = t_k$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 87 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 87), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.