Номер 3, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый

ISBN: 978-5-09-112135-3

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 9 классе

Контрольные вопросы и задания. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 3, страница 87.

№3 (с. 87)
Условие. №3 (с. 87)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 87, номер 3, Условие

3. Дайте определение биквадратного уравнения. Объясните, как решают биквадратное уравнение.

Решение 1. №3 (с. 87)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 87, номер 3, Решение 1
Решение 8. №3 (с. 87)

Дайте определение биквадратного уравнения.

Биквадратным уравнением называется уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$ и $c$ — числовые коэффициенты, причём старший коэффициент $a \neq 0$.

Ключевая особенность такого уравнения заключается в том, что оно, будучи уравнением четвёртой степени, содержит неизвестное только в чётных степенях (четвёртой и второй). Это позволяет свести его к квадратному уравнению.

Ответ: Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a, b, c$ — коэффициенты и $a \neq 0$.

Объясните, как решают биквадратное уравнение.

Биквадратные уравнения решают методом введения новой переменной (или методом замены). Суть метода состоит в том, чтобы свести исходное уравнение к более простому — квадратному.

Алгоритм решения биквадратного уравнения:

  1. Ввести новую переменную. В уравнении $ax^4 + bx^2 + c = 0$ делается замена $t = x^2$. Поскольку $x^4 = (x^2)^2 = t^2$, исходное уравнение преобразуется к виду $at^2 + bt + c = 0$. Важно отметить, что $t$ не может быть отрицательным, так как $t = x^2 \ge 0$.
  2. Решить полученное квадратное уравнение. Уравнение $at^2 + bt + c = 0$ решается относительно переменной $t$. Чаще всего для этого используется формула корней квадратного уравнения через дискриминант: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
  3. Проанализировать корни для $t$.
    • Если квадратное уравнение для $t$ не имеет действительных корней (дискриминант $D < 0$), то и исходное биквадратное уравнение не имеет действительных корней.
    • Если корни $t_1$ и $t_2$ найдены, то для дальнейшего решения отбираются только неотрицательные значения, так как должно выполняться условие $t \ge 0$. Если все найденные корни $t$ отрицательны, биквадратное уравнение не имеет действительных решений.
  4. Сделать обратную замену. Для каждого подходящего (неотрицательного) корня $t_k$ решается уравнение $x^2 = t_k$.
    • Если $t_k = 0$, то $x^2 = 0$, что даёт один корень $x=0$.
    • Если $t_k > 0$, то $x^2 = t_k$, что даёт два корня $x = \sqrt{t_k}$ и $x = -\sqrt{t_k}$.
  5. Записать ответ. Все полученные значения $x$ являются корнями исходного биквадратного уравнения. Их может быть от нуля до четырёх.

Пример решения уравнения $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$:

1. Сделаем замену: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид: $t^2 - 5t + 4 = 0$.

2. Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.

3. Оба корня положительные, поэтому они оба подходят.

4. Выполним обратную замену:

  • Если $x^2 = 1$, то $x = \pm 1$.
  • Если $x^2 = 4$, то $x = \pm 2$.

5. В результате получаем четыре корня: $-2, -1, 1, 2$.

Ответ: Для решения биквадратного уравнения $ax^4 + bx^2 + c = 0$ нужно выполнить замену $t = x^2$, решить полученное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ для $t$ и для каждого неотрицательного корня $t_k$ найти $x$ из уравнения $x^2 = t_k$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 87 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 87), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.