Номер 3, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Контрольные вопросы и задания - номер 3, страница 87.

Условие.

3. Дайте определение биквадратного уравнения. Объясните, как решают биквадратное уравнение.

Решение 1.

Решение 8.

Дайте определение биквадратного уравнения.

Биквадратным уравнением называется уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$ и $c$ — числовые коэффициенты, причём старший коэффициент $a \neq 0$.

Ключевая особенность такого уравнения заключается в том, что оно, будучи уравнением четвёртой степени, содержит неизвестное только в чётных степенях (четвёртой и второй). Это позволяет свести его к квадратному уравнению.

Ответ: Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a, b, c$ — коэффициенты и $a \neq 0$.

Объясните, как решают биквадратное уравнение.

Биквадратные уравнения решают методом введения новой переменной (или методом замены). Суть метода состоит в том, чтобы свести исходное уравнение к более простому — квадратному.

Алгоритм решения биквадратного уравнения:

1. Ввести новую переменную. В уравнении $ax^4 + bx^2 + c = 0$ делается замена $t = x^2$. Поскольку $x^4 = (x^2)^2 = t^2$, исходное уравнение преобразуется к виду $at^2 + bt + c = 0$. Важно отметить, что $t$ не может быть отрицательным, так как $t = x^2 \ge 0$.
2. Решить полученное квадратное уравнение. Уравнение $at^2 + bt + c = 0$ решается относительно переменной $t$. Чаще всего для этого используется формула корней квадратного уравнения через дискриминант: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
3. Проанализировать корни для $t$.
   • Если квадратное уравнение для $t$ не имеет действительных корней (дискриминант $D < 0$), то и исходное биквадратное уравнение не имеет действительных корней.
   • Если корни $t_1$ и $t_2$ найдены, то для дальнейшего решения отбираются только неотрицательные значения, так как должно выполняться условие $t \ge 0$. Если все найденные корни $t$ отрицательны, биквадратное уравнение не имеет действительных решений.
4. Сделать обратную замену. Для каждого подходящего (неотрицательного) корня $t_k$ решается уравнение $x^2 = t_k$.
   • Если $t_k = 0$, то $x^2 = 0$, что даёт один корень $x=0$.
   • Если $t_k > 0$, то $x^2 = t_k$, что даёт два корня $x = \sqrt{t_k}$ и $x = -\sqrt{t_k}$.
5. Записать ответ. Все полученные значения $x$ являются корнями исходного биквадратного уравнения. Их может быть от нуля до четырёх.

Пример решения уравнения $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$:

1. Сделаем замену: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид: $t^2 - 5t + 4 = 0$.

2. Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.

3. Оба корня положительные, поэтому они оба подходят.

4. Выполним обратную замену:

• Если $x^2 = 1$, то $x = \pm 1$.
• Если $x^2 = 4$, то $x = \pm 2$.

5. В результате получаем четыре корня: $-2, -1, 1, 2$.

Ответ: Для решения биквадратного уравнения $ax^4 + bx^2 + c = 0$ нужно выполнить замену $t = x^2$, решить полученное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ для $t$ и для каждого неотрицательного корня $t_k$ найти $x$ из уравнения $x^2 = t_k$.