Номер 261, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

261. Два слесаря выполнили задание за 12 ч. Если бы половину задания выполнил первый, а оставшуюся часть второй, то первому потребовалось бы времени на 5 ч больше, чем второму. За сколько часов каждый из них мог бы выполнить задание?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — время в часах, за которое первый слесарь выполняет все задание самостоятельно, а $y$ — время в часах, за которое второй слесарь выполняет все задание самостоятельно.

Тогда производительность (скорость работы) первого слесаря составляет $\frac{1}{x}$ задания в час, а второго — $\frac{1}{y}$ задания в час.

1. Составление первого уравнения.

Из условия известно, что работая вместе, они выполняют задание за 12 часов. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$.

За 12 часов совместной работы они выполняют все задание (которое принимаем за 1). Отсюда получаем первое уравнение:

$12 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1$

2. Составление второго уравнения.

По второму условию, если бы первый слесарь выполнил половину задания, а второй — оставшуюся половину, то первому потребовалось бы на 5 часов больше.

Время, за которое первый слесарь выполнит половину задания (0.5), равно $t_1 = \frac{0.5}{1/x} = 0.5x$ часов.

Время, за которое второй слесарь выполнит вторую половину задания, равно $t_2 = \frac{0.5}{1/y} = 0.5y$ часов.

По условию $t_1 = t_2 + 5$. Отсюда получаем второе уравнение:

$0.5x = 0.5y + 5$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} 12 \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1 \\ 0.5x = 0.5y + 5 \end{cases}$

Упростим второе уравнение, умножив обе его части на 2:

$x = y + 10$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$12 \left(\frac{1}{y+10} + \frac{1}{y}\right) = 1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $y(y+10)$:

$12 \left(\frac{y + (y+10)}{y(y+10)}\right) = 1$

$12 \cdot \frac{2y+10}{y^2+10y} = 1$

Умножим обе части на знаменатель $y^2+10y$ (при условии, что $y \neq 0$ и $y \neq -10$, что соответствует смыслу задачи):

$12(2y+10) = y^2+10y$

$24y + 120 = y^2 + 10y$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$y^2 + 10y - 24y - 120 = 0$

$y^2 - 14y - 120 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676$

$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-(-14) + 26}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 26}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$y_2 = \frac{-(-14) - 26}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 26}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Поскольку $y$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Значит, корень $y_2 = -6$ является посторонним. Таким образом, время, за которое второй слесарь выполнит все задание, составляет 20 часов.

Теперь найдем время для первого слесаря:

$x = y + 10 = 20 + 10 = 30$

Следовательно, время, за которое первый слесарь выполнит все задание, составляет 30 часов.

Ответ: первый слесарь мог бы выполнить задание за 30 часов, а второй — за 20 часов.