Номер 258, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 258, страница 87.

Условие.

258. Плот проплывает 60 км по течению реки на 5 ч быстрее, чем такое же расстояние проходит моторная лодка против течения. Найдите скорость лодки по течению, если её скорость в стоячей воде 10 км/ч.

Решение 1.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение, исходя из условий.

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч. Скорость плота, не имеющего собственного двигателя, равна скорости течения, то есть $v_{плота} = x$ км/ч. Время, которое потребуется плоту, чтобы проплыть 60 км по течению, вычисляется по формуле $t = S/v$. Таким образом, время движения плота составляет $t_{плота} = \frac{60}{x}$ часов.

Собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде) дана в условии и составляет 10 км/ч. Когда лодка движется против течения, ее скорость уменьшается на величину скорости течения. Следовательно, скорость лодки против течения равна $v_{лодки\;против} = 10 - x$ км/ч. Время, за которое лодка пройдет 60 км против течения, составляет $t_{лодки\;против} = \frac{60}{10 - x}$ часов.

Согласно условию, плот затрачивает на свой путь на 5 часов меньше, чем моторная лодка на свой. Это можно выразить следующим уравнением: $t_{лодки\;против} - t_{плота} = 5$ Подставим выражения для времени: $\frac{60}{10 - x} - \frac{60}{x} = 5$

Теперь решим это уравнение. Важно отметить область допустимых значений для переменной $x$: скорость течения $x$ должна быть положительной ($x > 0$), а также скорость лодки против течения должна быть положительной ($10 - x > 0$, что означает $x < 10$). Таким образом, $0 < x < 10$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(10 - x)$, чтобы избавиться от дробей: $60x - 60(10 - x) = 5x(10 - x)$ Раскроем скобки: $60x - 600 + 60x = 50x - 5x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $120x - 600 = 50x - 5x^2$ $5x^2 + 120x - 50x - 600 = 0$ $5x^2 + 70x - 600 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 5: $x^2 + 14x - 120 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или формулу для вычисления корней через дискриминант. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676$ Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$. Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - 26}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20$ $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + 26}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$

Корень $x_1 = -20$ является посторонним, так как скорость не может быть отрицательной величиной. Следовательно, скорость течения реки составляет $x = 6$ км/ч. Это значение удовлетворяет условию $0 < x < 10$.

В задаче требуется найти скорость лодки по течению. Скорость лодки по течению равна сумме ее собственной скорости и скорости течения: $v_{лодки\;по\;течению} = v_{собственная} + v_{течения} = 10 + x = 10 + 6 = 16$ км/ч.

Ответ: 16 км/ч.