Номер 263, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 263, страница 87.

Условие.

263. В одной системе координат постройте графики функций y = x² и y = x + 6, с их помощью найдите решение уравнения

x² – x – 6 = 0.

Решение 1.

Решение 8.

Построение графиков функций $y=x^2$ и $y=x+6$

Для решения задачи необходимо в одной системе координат построить графики двух функций.

1. График функции $y=x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$. Составим таблицу значений для построения:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y = x^2$	9	4	1	0	1	4	9

2. График функции $y=x+6$ — это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:

• При $x=0$, $y=0+6=6$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 6)$.
• При $y=0$, $0=x+6$, откуда $x=-6$. Точка пересечения с осью Ox: $(-6, 0)$.

Построив параболу и прямую в одной системе координат, мы можем найти их точки пересечения.

Нахождение решения уравнения $x^2-x-6=0$ с помощью графиков

Чтобы найти решение уравнения $x^2-x-6=0$ графическим методом, преобразуем его:

$x^2-x-6=0 \implies x^2=x+6$

Решения (корни) этого уравнения являются абсциссами (координатами $x$) точек пересечения графиков функций $y=x^2$ и $y=x+6$.

На графике видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Определим их координаты:

• Точка A: $(-2, 4)$
• Точка B: $(3, 9)$

Абсциссы этих точек, $x=-2$ и $x=3$, и являются решениями исходного уравнения.

Для проверки подставим найденные значения в уравнение $x^2-x-6=0$:

• Для $x = -2$: $(-2)^2 - (-2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$.
• Для $x = 3$: $3^2 - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$.

Оба значения являются верными корнями.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 3$.