Номер 265, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной - номер 265, страница 91.

Условие.

265. Найдите множество решений неравенства:

а) 2x² + 3x – 5 ≥ 0;

б) –6x² + 6x + 36 ≥ 0;

в) –x² + 5 ≤ 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы найти множество решений неравенства $2x^2 + 3x - 5 \ge 0$, мы сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставляем коэффициенты $a=2, b=3, c=-5$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$

График функции $y = 2x^2 + 3x - 5$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a=2$ положителен. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=-2.5$ и $x=1$. Неравенство $2x^2 + 3x - 5 \ge 0$ выполняется, когда график функции находится на оси Ox или выше неё. Это происходит на интервалах слева от меньшего корня и справа от большего корня, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [1; +\infty)$.

б) Решим неравенство $-6x^2 + 6x + 36 \ge 0$. Для упрощения разделим все его части на -6. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - x - 6 \le 0$

Теперь найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$

График функции $y = x^2 - x - 6$ — парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$), пересекающая ось Ox в точках $x=-2$ и $x=3$. Неравенство $x^2 - x - 6 \le 0$ истинно, когда парабола находится на оси Ox или ниже неё, то есть между корнями (включая концы интервала).

Ответ: $x \in [-2; 3]$.

в) Решим неравенство $-x^2 + 5 \le 0$. Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 5 \ge 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5 = 0$:

$x^2 = 5$

$x_1 = -\sqrt{5}$, $x_2 = \sqrt{5}$

Графиком функции $y = x^2 - 5$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$), которая пересекает ось Ox в точках $x=-\sqrt{5}$ и $x=\sqrt{5}$. Неравенство $x^2 - 5 \ge 0$ выполняется, когда парабола находится на оси Ox или выше неё. Это происходит на интервалах слева от меньшего корня и справа от большего корня, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}; +\infty)$.