Номер 267, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

267. Найдите, при каких значениях x трёхчлен:

а) 2x² + 5x + 3 принимает положительные значения;

б) –x² – $\frac{1}{3}$x - $\frac{1}{36}$ принимает отрицательные значения.

а) Чтобы найти, при каких значениях $x$ трёхчлен $2x^2 + 5x + 3$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $2x^2 + 5x + 3 > 0$.

Для решения этого квадратного неравенства найдём корни соответствующего уравнения $2x^2 + 5x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1,5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

Графиком функции $y = 2x^2 + 5x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$). Парабола находится выше оси Ox (т.е. $y > 0$) на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x < -1,5$ или $x > -1$.

Ответ: $(-\infty; -1,5) \cup (-1; +\infty)$

б) Чтобы найти, при каких значениях $x$ трёхчлен $-x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{36}$ принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $-x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{36} < 0$.

Умножим обе части неравенства на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} > 0$

Теперь найдём корни уравнения $x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (\frac{1}{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{9} - \frac{4}{36} = \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 0$.

Поскольку $D = 0$, уравнение имеет один корень (или два совпадающих):

$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-\frac{1}{3}}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{6}$

Так как $D=0$, левую часть неравенства $x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} > 0$ можно представить в виде полного квадрата: $(x + \frac{1}{6})^2 > 0$.

Выражение $(x + \frac{1}{6})^2$ всегда неотрицательно. Оно равно нулю при $x = -\frac{1}{6}$ и строго положительно при всех остальных значениях $x$.

Следовательно, решение неравенства — это все действительные числа, кроме $x = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{1}{6}) \cup (-\frac{1}{6}; +\infty)$