Номер 273, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной - номер 273, страница 91.

Условие.

273. Решите неравенство:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $2x(3x - 1) > 4x^2 + 5x + 9$
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$6x^2 - 2x > 4x^2 + 5x + 9$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$6x^2 - 2x - 4x^2 - 5x - 9 > 0$
$2x^2 - 7x - 9 > 0$
Теперь решим соответствующее квадратное уравнение, чтобы найти корни трехчлена $2x^2 - 7x - 9$:
$2x^2 - 7x - 9 = 0$
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = 4,5$
Мы получили квадратичную функцию $y = 2x^2 - 7x - 9$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 2) положителен. Неравенство $2x^2 - 7x - 9 > 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (4,5; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -1) \cup (4,5; +\infty)$.

б) $(5x + 7)(x - 2) < 21x^2 - 11x - 13$
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$5x^2 - 10x + 7x - 14 < 21x^2 - 11x - 13$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$5x^2 - 3x - 14 < 21x^2 - 11x - 13$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом:
$0 < 21x^2 - 11x - 13 - (5x^2 - 3x - 14)$
$0 < 21x^2 - 11x - 13 - 5x^2 + 3x + 14$
$0 < 16x^2 - 8x + 1$
Перепишем неравенство в стандартном виде:
$16x^2 - 8x + 1 > 0$
Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
$16x^2 - 8x + 1 = (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot 1 + 1^2 = (4x - 1)^2$
Таким образом, неравенство принимает вид:
$(4x - 1)^2 > 0$
Квадрат любого действительного выражения всегда неотрицателен, то есть $(4x - 1)^2 \geq 0$. В нашем случае неравенство строгое, поэтому мы должны исключить случай, когда выражение равно нулю.
Найдем значение $x$, при котором выражение обращается в ноль:
$(4x - 1)^2 = 0$
$4x - 1 = 0$
$4x = 1$
$x = \frac{1}{4}$
Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных значений $x$, кроме $x = \frac{1}{4}$.
Решение можно записать в виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$.