Номер 276, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной - номер 276, страница 92.

Условие.

276. Какое из данных выражений принимает положительное значение при любом значении y?

Решение 1.

Решение 8.

Чтобы определить, какое из выражений принимает положительное значение при любом значении $y$, необходимо проанализировать каждое из них. Каждое выражение представляет собой квадратичную функцию от $y$. Квадратичная функция $f(y) = ay^2 + by + c$ принимает только положительные значения тогда и только тогда, когда ее график (парабола) целиком находится выше оси абсцисс. Это выполняется при двух условиях: коэффициент при старшем члене положителен ($a > 0$, ветви параболы направлены вверх), и дискриминант отрицателен ($D = b^2 - 4ac < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс).

Рассмотрим каждое выражение по отдельности.

1. $(y - 2)(y - 3) - 4$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$(y - 2)(y - 3) - 4 = y^2 - 3y - 2y + 6 - 4 = y^2 - 5y + 2$.

Получили квадратный трёхчлен $y^2 - 5y + 2$ с коэффициентами $a=1$, $b=-5$, $c=2$.

Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17$.

Поскольку $D = 17 > 0$, квадратное уравнение имеет два корня. Это значит, что парабола пересекает ось абсцисс, и, следовательно, выражение может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Например, при $y=2$, значение выражения равно $(2 - 2)(2 - 3) - 4 = 0 - 4 = -4$.

Ответ: Выражение не принимает положительное значение при любом $y$.

2. $(5 - y)(1 - y) + 4$

Раскроем скобки и упростим:

$(5 - y)(1 - y) + 4 = 5 - 5y - y + y^2 + 4 = y^2 - 6y + 9$.

Данное выражение является полным квадратом: $y^2 - 6y + 9 = (y - 3)^2$.

Значение выражения $(y - 3)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(y - 3)^2 \geq 0$. Однако при $y=3$ выражение обращается в ноль: $(3 - 3)^2 = 0$. Ноль не является положительным числом, поэтому данное выражение не является положительным при любом значении $y$.

Ответ: Выражение не принимает положительное значение при любом $y$.

3. $(5 - y)(1 - y) + 10$

Упростим выражение, используя результат из предыдущего пункта:

$(5 - y)(1 - y) = y^2 - 6y + 9$.

Следовательно, выражение равно: $(y^2 - 6y + 9) + 10 = y^2 - 6y + 19$.

Это квадратный трёхчлен с коэффициентами $a=1$, $b=-6$, $c=19$.

Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 36 - 76 = -40$.

Поскольку $D = -40 < 0$ и $a > 0$, парабола не пересекает ось абсцисс и целиком расположена над ней. Это означает, что выражение всегда принимает только положительные значения.

Альтернативный способ — выделить полный квадрат:

$y^2 - 6y + 19 = (y^2 - 6y + 9) + 10 = (y - 3)^2 + 10$.

Так как $(y - 3)^2 \geq 0$ для любого $y$, наименьшее значение этого слагаемого равно $0$ (достигается при $y=3$). Тогда наименьшее значение всего выражения равно $0 + 10 = 10$. Поскольку $10 > 0$, выражение всегда положительно.

Ответ: Выражение принимает положительное значение при любом $y$.

4. $(y - 8)(y - 7) - 60$

Раскроем скобки и упростим:

$(y - 8)(y - 7) - 60 = y^2 - 7y - 8y + 56 - 60 = y^2 - 15y - 4$.

Это квадратный трёхчлен с коэффициентами $a=1$, $b=-15$, $c=-4$.

Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 225 + 16 = 241$.

Поскольку $D = 241 > 0$, парабола пересекает ось абсцисс. Значит, выражение принимает как положительные, так и отрицательные значения. Например, при $y=7$, значение выражения равно $(7 - 8)(7 - 7) - 60 = -1 \cdot 0 - 60 = -60$.

Ответ: Выражение не принимает положительное значение при любом $y$.