Номер 276, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
16. Решение неравенств второй степени с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 276, страница 92.
№276 (с. 92)
Условие. №276 (с. 92)
скриншот условия

276. Какое из данных выражений принимает положительное значение при любом значении y?

Решение 1. №276 (с. 92)


Решение 8. №276 (с. 92)
Чтобы определить, какое из выражений принимает положительное значение при любом значении $y$, необходимо проанализировать каждое из них. Каждое выражение представляет собой квадратичную функцию от $y$. Квадратичная функция $f(y) = ay^2 + by + c$ принимает только положительные значения тогда и только тогда, когда ее график (парабола) целиком находится выше оси абсцисс. Это выполняется при двух условиях: коэффициент при старшем члене положителен ($a > 0$, ветви параболы направлены вверх), и дискриминант отрицателен ($D = b^2 - 4ac < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс).
Рассмотрим каждое выражение по отдельности.
1. $(y - 2)(y - 3) - 4$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$(y - 2)(y - 3) - 4 = y^2 - 3y - 2y + 6 - 4 = y^2 - 5y + 2$.
Получили квадратный трёхчлен $y^2 - 5y + 2$ с коэффициентами $a=1$, $b=-5$, $c=2$.
Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17$.
Поскольку $D = 17 > 0$, квадратное уравнение имеет два корня. Это значит, что парабола пересекает ось абсцисс, и, следовательно, выражение может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Например, при $y=2$, значение выражения равно $(2 - 2)(2 - 3) - 4 = 0 - 4 = -4$.
Ответ: Выражение не принимает положительное значение при любом $y$.
2. $(5 - y)(1 - y) + 4$
Раскроем скобки и упростим:
$(5 - y)(1 - y) + 4 = 5 - 5y - y + y^2 + 4 = y^2 - 6y + 9$.
Данное выражение является полным квадратом: $y^2 - 6y + 9 = (y - 3)^2$.
Значение выражения $(y - 3)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(y - 3)^2 \geq 0$. Однако при $y=3$ выражение обращается в ноль: $(3 - 3)^2 = 0$. Ноль не является положительным числом, поэтому данное выражение не является положительным при любом значении $y$.
Ответ: Выражение не принимает положительное значение при любом $y$.
3. $(5 - y)(1 - y) + 10$
Упростим выражение, используя результат из предыдущего пункта:
$(5 - y)(1 - y) = y^2 - 6y + 9$.
Следовательно, выражение равно: $(y^2 - 6y + 9) + 10 = y^2 - 6y + 19$.
Это квадратный трёхчлен с коэффициентами $a=1$, $b=-6$, $c=19$.
Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 36 - 76 = -40$.
Поскольку $D = -40 < 0$ и $a > 0$, парабола не пересекает ось абсцисс и целиком расположена над ней. Это означает, что выражение всегда принимает только положительные значения.
Альтернативный способ — выделить полный квадрат:
$y^2 - 6y + 19 = (y^2 - 6y + 9) + 10 = (y - 3)^2 + 10$.
Так как $(y - 3)^2 \geq 0$ для любого $y$, наименьшее значение этого слагаемого равно $0$ (достигается при $y=3$). Тогда наименьшее значение всего выражения равно $0 + 10 = 10$. Поскольку $10 > 0$, выражение всегда положительно.
Ответ: Выражение принимает положительное значение при любом $y$.
4. $(y - 8)(y - 7) - 60$
Раскроем скобки и упростим:
$(y - 8)(y - 7) - 60 = y^2 - 7y - 8y + 56 - 60 = y^2 - 15y - 4$.
Это квадратный трёхчлен с коэффициентами $a=1$, $b=-15$, $c=-4$.
Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 225 + 16 = 241$.
Поскольку $D = 241 > 0$, парабола пересекает ось абсцисс. Значит, выражение принимает как положительные, так и отрицательные значения. Например, при $y=7$, значение выражения равно $(7 - 8)(7 - 7) - 60 = -1 \cdot 0 - 60 = -60$.
Ответ: Выражение не принимает положительное значение при любом $y$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 276 расположенного на странице 92 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №276 (с. 92), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.