Номер 281, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

281. Укажите все целые значения x, принадлежащие области определения функции:

а) Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{25 - x^2} + \sqrt{9x - x^2 - 14}$, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны. Это условие приводит к системе неравенств:

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Первое неравенство: $25 - x^2 \ge 0$. Оно равносильно неравенству $x^2 \le 25$. Решением является промежуток $x \in [-5, 5]$.

2. Второе неравенство: $9x - x^2 - 14 \ge 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 9x + 14 \le 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 9x + 14 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а их произведение равно 14. Следовательно, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$. Так как парабола $f(x) = x^2 - 9x + 14$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $f(x) \le 0$ выполняется на отрезке между корнями. Таким образом, решение этого неравенства: $x \in [2, 7]$.

Область определения функции является пересечением полученных промежутков: $[-5, 5] \cap [2, 7]$. Пересечением является отрезок $[2, 5]$.

Целые значения $x$, принадлежащие этому отрезку: 2, 3, 4, 5.

Ответ: 2, 3, 4, 5.

б) Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{8x - x^2 - 12} + \sqrt{16 - x^2}$, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны. Составим и решим систему неравенств:

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Первое неравенство: $8x - x^2 - 12 \ge 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 8x + 12 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Следовательно, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$. Так как парабола $f(x) = x^2 - 8x + 12$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $f(x) \le 0$ выполняется на отрезке между корнями. Таким образом, решение: $x \in [2, 6]$.

2. Второе неравенство: $16 - x^2 \ge 0$. Оно равносильно неравенству $x^2 \le 16$. Решением является промежуток $x \in [-4, 4]$.

Область определения функции является пересечением полученных промежутков: $[2, 6] \cap [-4, 4]$. Пересечением является отрезок $[2, 4]$.

Целые значения $x$, принадлежащие этому отрезку: 2, 3, 4.

Ответ: 2, 3, 4.