Номер 279, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

279. Длина прямоугольника на 5 см больше ширины. Какую ширину должен иметь прямоугольник, чтобы его площадь была больше 36 см²?

Обозначим ширину прямоугольника через $x$ см. Поскольку ширина не может быть отрицательной или равной нулю, должно выполняться условие $x > 0$.

По условию задачи, длина прямоугольника на 5 см больше ширины. Следовательно, длина прямоугольника составляет $(x + 5)$ см.

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его длины на ширину: $S = x(x + 5)$.

Нам нужно, чтобы площадь была больше 36 см². Составим и решим неравенство:

$x(x + 5) > 36$

Раскроем скобки и приведем неравенство к стандартному виду:

$x^2 + 5x > 36$
$x^2 + 5x - 36 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 5x - 36 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета или формулой для корней квадратного уравнения.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Квадратичная функция $y = x^2 + 5x - 36$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции положительны (то есть $y > 0$) за пределами корней. Таким образом, решение неравенства $x^2 + 5x - 36 > 0$ есть объединение интервалов: $x \in (-\infty; -9) \cup (4; +\infty)$.

Теперь учтем первоначальное условие, что ширина $x$ должна быть положительной, то есть $x > 0$. Найдем пересечение полученного решения с этим условием:

$\left\{ \begin{array}{l} x \in (-\infty; -9) \cup (4; +\infty) \\ x > 0 \end{array} \right.$

Общим решением для этой системы является интервал $x > 4$.

Следовательно, ширина прямоугольника должна быть больше 4 см.

Ответ: ширина прямоугольника должна быть больше 4 см.