Номер 280, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

280. Решите систему неравенств:

а) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 2x - 8 < 0 \\ x^2 - 9 < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $x^2 - 2x - 8 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -8. Отсюда корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Значит, квадратный трехчлен принимает отрицательные значения между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-2, 4)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 9 < 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x - 3)(x + 3) < 0$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Аналогично, ветви параболы направлены вверх, и неравенство выполняется между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-3, 3)$.

3. Найдем пересечение множеств решений обоих неравенств.

Ищем пересечение интервалов $(-2, 4)$ и $(-3, 3)$.

Пересечением является интервал $(-2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, 3)$.

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x^2 - 13x + 6 < 0 \\ x^2 - 4x > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $2x^2 - 13x + 6 < 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 - 13x + 6 = 0$. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_1 = \frac{13 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$ и $x_2 = \frac{13 + 11}{4} = \frac{24}{4} = 6$.

Ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство выполняется между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (0.5, 6)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 4x > 0$.

Разложим на множители: $x(x - 4) > 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений.

Ищем пересечение интервала $(0.5, 6)$ с объединением интервалов $(-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.

Пересечение $(0.5, 6) \cap ((-\infty, 0) \cup (4, \infty))$ дает нам интервал $(4, 6)$.

Ответ: $x \in (4, 6)$.

в) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 6x - 16 > 0 \\ x^2 + 2x - 120 < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $x^2 - 6x - 16 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 16 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = 8$, $x_2 = -2$.

Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (8, \infty)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 + 2x - 120 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 120 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = 10$, $x_2 = -12$.

Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-12, 10)$.

3. Найдем пересечение решений.

Ищем пересечение $((-\infty, -2) \cup (8, \infty)) \cap (-12, 10)$.

Это равносильно объединению двух пересечений: $ ((-\infty, -2) \cap (-12, 10)) \cup ((8, \infty) \cap (-12, 10))$.

Первое пересечение дает $(-12, -2)$, второе — $(8, 10)$.

Ответ: $x \in (-12, -2) \cup (8, 10)$.

г) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x^2 + x - 2 \le 0 \\ x^2 + 4x - 12 \le 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $3x^2 + x - 2 \le 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = -1$ и $x_2 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in [-1, \frac{2}{3}]$.

2. Решим второе неравенство $x^2 + 4x - 12 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = -6$.

Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями, включая сами корни.

Решение второго неравенства: $x \in [-6, 2]$.

3. Найдем пересечение решений.

Ищем пересечение отрезков $[-1, \frac{2}{3}]$ и $[-6, 2]$.

Пересечением является отрезок $[-1, \frac{2}{3}]$.

Ответ: $x \in [-1, \frac{2}{3}]$.

д) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x^2 + 4x + 15 \ge 0 \\ x^2 - 9x + 8 \le 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $2x^2 + 4x + 15 \ge 0$.

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 + 4x + 15$. Коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительный), ветви параболы направлены вверх.

Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 16 - 120 = -104$.

Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, вся парабола лежит выше оси Ох. Это означает, что выражение $2x^2 + 4x + 15$ всегда положительно.

Решение первого неравенства: $x$ — любое действительное число, $x \in (-\infty, \infty)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 9x + 8 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 8 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 8$.

Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями, включая их.

Решение второго неравенства: $x \in [1, 8]$.

3. Найдем пересечение решений.

Ищем пересечение $(-\infty, \infty) \cap [1, 8]$.

Пересечением является отрезок $[1, 8]$.

Ответ: $x \in [1, 8]$.

е) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x^2 + 5x - 3 < 0 \\ 3x^2 + x + 11 < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $2x^2 + 5x - 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-5 - 7}{4} = -3$ и $x_2 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.

Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-3, 0.5)$.

2. Решим второе неравенство $3x^2 + x + 11 < 0$.

Рассмотрим функцию $y = 3x^2 + x + 11$. Коэффициент при $x^2$ равен 3 (положительный), ветви параболы направлены вверх.

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 1 - 132 = -131$.

Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, вся парабола лежит выше оси Ох. Это означает, что выражение $3x^2 + x + 11$ всегда положительно и никогда не бывает меньше нуля.

Решение второго неравенства: решений нет, $x \in \emptyset$.

3. Найдем пересечение решений.

Пересечение любого множества с пустым множеством есть пустое множество. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: Решений нет.