Номер 286, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 17. Решение неравенств методом интервалов - номер 286, страница 96.

Условие.

286. Решите неравенство:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $(x + 25)(x - 30) < 0$

Данное неравенство является квадратичным. Решим его методом интервалов.

1. Найдем корни соответствующего уравнения $(x + 25)(x - 30) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x + 25 = 0 \implies x_1 = -25$
$x - 30 = 0 \implies x_2 = 30$

2. Отметим эти корни на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($<$), точки будут "выколотыми", то есть не войдут в решение. Эти точки делят прямую на три интервала: $(-\infty; -25)$, $(-25; 30)$ и $(30; +\infty)$.

3. Определим знак выражения $(x + 25)(x - 30)$ на каждом интервале.
Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $y = (x + 25)(x - 30)$, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Следовательно, функция принимает отрицательные значения между своими корнями.

4. Нам нужно найти решение для $(x + 25)(x - 30) < 0$, то есть найти, где выражение отрицательно. Это интервал между корнями.

Ответ: $(-25; 30)$.

б) $(x + 6)(x - 6) > 0$

Это квадратичное неравенство. Можно заметить, что левая часть является разностью квадратов: $x^2 - 36 > 0$. Решим его методом интервалов.

1. Найдем корни уравнения $(x + 6)(x - 6) = 0$.
$x + 6 = 0 \implies x_1 = -6$
$x - 6 = 0 \implies x_2 = 6$

2. Отметим корни $-6$ и $6$ на числовой прямой. Неравенство строгое ($>$), поэтому точки выколотые. Они делят прямую на интервалы $(-\infty; -6)$, $(-6; 6)$ и $(6; +\infty)$.

3. Определим знаки на интервалах.
Функция $y = (x + 6)(x - 6)$ — парабола с ветвями вверх. Следовательно, она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

4. Мы ищем, где $(x + 6)(x - 6) > 0$. Это соответствует интервалам, где функция положительна.

Ответ: $(-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$.

в) $\left(x - \frac{1}{3}\right)\left(x - \frac{1}{5}\right) \le 0$

Решим данное квадратичное неравенство методом интервалов.

1. Найдем корни уравнения $\left(x - \frac{1}{3}\right)\left(x - \frac{1}{5}\right) = 0$.
$x - \frac{1}{3} = 0 \implies x_1 = \frac{1}{3}$
$x - \frac{1}{5} = 0 \implies x_2 = \frac{1}{5}$

2. Отметим корни на числовой прямой. Заметим, что $\frac{1}{5} < \frac{1}{3}$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому точки будут закрашенными и войдут в решение. Точки делят прямую на интервалы $(-\infty; \frac{1}{5}]$, $[\frac{1}{5}; \frac{1}{3}]$ и $[\frac{1}{3}; +\infty)$.

3. Определим знаки на интервалах.
Функция $y = \left(x - \frac{1}{3}\right)\left(x - \frac{1}{5}\right)$ — парабола с ветвями вверх. Значит, она принимает отрицательные значения между корнями.

4. Мы ищем, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это будет отрезок между корнями, включая сами корни.

Ответ: $\left[\frac{1}{5}; \frac{1}{3}\right]$.

г) $(x + 0,1)(x + 6,3) \ge 0$

Решим данное квадратичное неравенство методом интервалов.

1. Найдем корни уравнения $(x + 0,1)(x + 6,3) = 0$.
$x + 0,1 = 0 \implies x_1 = -0,1$
$x + 6,3 = 0 \implies x_2 = -6,3$

2. Отметим корни на числовой прямой. Заметим, что $-6,3 < -0,1$. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому точки будут закрашенными. Они делят прямую на интервалы $(-\infty; -6,3]$, $[-6,3; -0,1]$ и $[-0,1; +\infty)$.

3. Определим знаки на интервалах.
Функция $y = (x + 0,1)(x + 6,3)$ — парабола с ветвями вверх. Следовательно, она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

4. Мы ищем, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это соответствует объединению двух лучей, включая их начальные точки.

Ответ: $(-\infty; -6,3] \cup [-0,1; +\infty)$.