Номер 285, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Решение неравенств методом интервалов. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 285, страница 96.

Условие.

285. Решите неравенство, используя метод интервалов:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $(x + 8)(x - 5) > 0$

1. Найдем нули функции $f(x) = (x + 8)(x - 5)$. Для этого приравняем каждый множитель к нулю:
$x + 8 = 0 \implies x_1 = -8$
$x - 5 = 0 \implies x_2 = 5$

2. Отметим найденные точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми (не входящими в решение).

3. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 5)$ и $(5; +\infty)$. Определим знак выражения $(x + 8)(x - 5)$ в каждом интервале, подставив любое значение из этого интервала:

• При $x = 6$ (из интервала $(5; +\infty)$): $(6 + 8)(6 - 5) = 14 \cdot 1 = 14 > 0$. Ставим знак "+".
• При $x = 0$ (из интервала $(-8; 5)$): $(0 + 8)(0 - 5) = 8 \cdot (-5) = -40 < 0$. Ставим знак "-".
• При $x = -9$ (из интервала $(-\infty; -8)$): $(-9 + 8)(-9 - 5) = (-1) \cdot (-14) = 14 > 0$. Ставим знак "+".

4. Так как нам нужны значения $x$, при которых выражение больше нуля, выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (5; +\infty)$

б) $(x - 14)(x + 10) < 0$

1. Найдем нули функции $f(x) = (x - 14)(x + 10)$.
$x - 14 = 0 \implies x_1 = 14$
$x + 10 = 0 \implies x_2 = -10$

2. Отметим точки $-10$ и $14$ на числовой оси. Неравенство строгое ($<$), поэтому точки выколотые.

3. Точки делят ось на интервалы: $(-\infty; -10)$, $(-10; 14)$ и $(14; +\infty)$. Определим знаки:

• При $x = 15$ (из интервала $(14; +\infty)$): $(15 - 14)(15 + 10) = 1 \cdot 25 = 25 > 0$. Знак "+".
• При $x = 0$ (из интервала $(-10; 14)$): $(0 - 14)(0 + 10) = -14 \cdot 10 = -140 < 0$. Знак "-".
• При $x = -11$ (из интервала $(-\infty; -10)$): $(-11 - 14)(-11 + 10) = (-25) \cdot (-1) = 25 > 0$. Знак "+".

4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше нуля, поэтому выбираем интервал со знаком "-".

Ответ: $x \in (-10; 14)$

в) $(x - 3,5)(x + 8,5) \ge 0$

1. Найдем нули функции $f(x) = (x - 3,5)(x + 8,5)$.
$x - 3,5 = 0 \implies x_1 = 3,5$
$x + 8,5 = 0 \implies x_2 = -8,5$

2. Отметим точки $-8,5$ и $3,5$ на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому точки будут закрашенными (входящими в решение).

3. Получаем интервалы: $(-\infty; -8,5]$, $[-8,5; 3,5]$ и $[3,5; +\infty)$. Определим знаки:

• При $x = 4$ (из интервала $[3,5; +\infty)$): $(4 - 3,5)(4 + 8,5) = 0,5 \cdot 12,5 > 0$. Знак "+".
• При $x = 0$ (из интервала $[-8,5; 3,5]$): $(0 - 3,5)(0 + 8,5) = -3,5 \cdot 8,5 < 0$. Знак "-".
• При $x = -9$ (из интервала $(-\infty; -8,5]$): $(-9 - 3,5)(-9 + 8,5) = (-12,5) \cdot (-0,5) > 0$. Знак "+".

4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю, поэтому выбираем интервалы со знаком "+" и включаем концы этих интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -8,5] \cup [3,5; +\infty)$

г) $\left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{1}{8}\right) \le 0$

1. Найдем нули функции $f(x) = \left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{1}{8}\right)$.
$x + \frac{1}{3} = 0 \implies x_1 = -\frac{1}{3}$
$x + \frac{1}{8} = 0 \implies x_2 = -\frac{1}{8}$

2. Сравним корни: $-\frac{1}{3} = -\frac{8}{24}$ и $-\frac{1}{8} = -\frac{3}{24}$, следовательно, $-\frac{1}{3} < -\frac{1}{8}$. Отметим точки $-\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{8}$ на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому точки закрашенные.

3. Получаем интервалы: $(-\infty; -\frac{1}{3}]$, $[-\frac{1}{3}; -\frac{1}{8}]$ и $[-\frac{1}{8}; +\infty)$. Определим знаки:

• При $x = 0$ (из интервала $[-\frac{1}{8}; +\infty)$): $(0 + \frac{1}{3})(0 + \frac{1}{8}) = \frac{1}{24} > 0$. Знак "+".
• При $x = -0,2 = -\frac{1}{5}$ (из интервала $[-\frac{1}{3}; -\frac{1}{8}]$, т.к. $-\frac{1}{3} \approx -0,33$ и $-\frac{1}{8} = -0,125$): $(-\frac{1}{5} + \frac{1}{3})(-\frac{1}{5} + \frac{1}{8}) = (\frac{-3+5}{15})(\frac{-8+5}{40}) = (\frac{2}{15})(-\frac{3}{40}) < 0$. Знак "-".
• При $x = -1$ (из интервала $(-\infty; -\frac{1}{3}]$): $(-1 + \frac{1}{3})(-1 + \frac{1}{8}) = (-\frac{2}{3})(-\frac{7}{8}) > 0$. Знак "+".

4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю, поэтому выбираем интервал со знаком "-" и включаем его концы.

Ответ: $x \in \left[-\frac{1}{3}; -\frac{1}{8}\right]$