Номер 290, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 17. Решение неравенств методом интервалов - номер 290, страница 97.

Условие.

290. Найдите множество решений неравенства:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $5(x - 13)(x + 24) < 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Сначала разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 - положительное число, знак неравенства не изменится:

$(x - 13)(x + 24) < 0$

Теперь найдем корни соответствующего уравнения $(x - 13)(x + 24) = 0$. Корнями являются $x_1 = 13$ и $x_2 = -24$.

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -24)$, $(-24, 13)$ и $(13, +\infty)$.

Рассмотрим функцию $f(x) = (x - 13)(x + 24)$. Ее график - парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен. Это означает, что функция принимает отрицательные значения между своими корнями.

Таким образом, неравенство выполняется на интервале между $-24$ и $13$.

Ответ: $x \in (-24, 13)$.

б) $-(x + \frac{1}{7})(x + \frac{1}{3}) \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$(x + \frac{1}{7})(x + \frac{1}{3}) \le 0$

Найдем корни уравнения $(x + \frac{1}{7})(x + \frac{1}{3}) = 0$. Корнями являются $x_1 = -\frac{1}{7}$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$.

Сравним корни: $-\frac{1}{3} < -\frac{1}{7}$.

График функции $f(x) = (x + \frac{1}{7})(x + \frac{1}{3})$ - это парабола с ветвями, направленными вверх. Функция принимает неположительные значения (меньше или равно нулю) на отрезке между корнями.

Неравенство выполняется, когда $x$ находится между $-\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{7}$ включительно.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{3}, -\frac{1}{7}]$.

в) $(x + 12)(3 - x) > 0$

Для удобства преобразуем второй множитель, вынеся за скобки -1:

$(x + 12) \cdot (-(x - 3)) > 0$

$-(x + 12)(x - 3) > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$(x + 12)(x - 3) < 0$

Найдем корни уравнения $(x + 12)(x - 3) = 0$. Корнями являются $x_1 = -12$ и $x_2 = 3$.

График функции $f(x) = (x + 12)(x - 3)$ - это парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, функция отрицательна на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства - это интервал от -12 до 3.

Ответ: $x \in (-12, 3)$.

г) $(6 + x)(3x - 1) \le 0$

Перепишем неравенство в виде $(x + 6)(3x - 1) \le 0$.

Найдем корни уравнения $(x + 6)(3x - 1) = 0$.

Из первого множителя получаем корень $x_1 = -6$.

Из второго множителя $3x - 1 = 0$ получаем корень $x_2 = \frac{1}{3}$.

Раскрыв скобки, мы получили бы квадратный трехчлен $3x^2 + 17x - 6$. Коэффициент при $x^2$ положителен (равен 3), значит, ветви параболы направлены вверх.

Функция принимает неположительные значения (меньше или равно нулю) на отрезке между своими корнями.

Таким образом, решение неравенства - это отрезок от -6 до $\frac{1}{3}$ включительно.

Ответ: $x \in [-6, \frac{1}{3}]$.