Номер 294, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 17. Решение неравенств методом интервалов - номер 294, страница 97.

Условие.

294. Решите неравенство:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Решим неравенство $\frac{x-5}{x+6} < 0$ методом интервалов.
1. Находим нули числителя и знаменателя. Эти точки являются границами интервалов, на которых выражение сохраняет свой знак.
Нуль числителя: $x-5=0 \implies x=5$.
Нуль знаменателя (точка, в которой выражение не определено): $x+6=0 \implies x=-6$.
2. Отмечаем точки $-6$ и $5$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($<0$), обе точки будут выколотыми (не включаются в решение).
Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -6)$, $(-6; 5)$ и $(5; +\infty)$.
3. Определяем знак дроби в каждом интервале, подставив любое значение из этого интервала.
- В интервале $(5; +\infty)$, возьмем $x=10$: $\frac{10-5}{10+6} = \frac{5}{16} > 0$. Знак «+».
- В интервале $(-6; 5)$, возьмем $x=0$: $\frac{0-5}{0+6} = -\frac{5}{6} < 0$. Знак «-».
- В интервале $(-\infty; -6)$, возьмем $x=-10$: $\frac{-10-5}{-10+6} = \frac{-15}{-4} > 0$. Знак «+».
4. Так как по условию неравенство $\frac{x-5}{x+6}$ должно быть меньше нуля, выбираем интервал со знаком «-».
Это интервал $(-6; 5)$.
Ответ: $x \in (-6; 5)$.

б) Решим неравенство $\frac{1,4-x}{x+3,8} < 0$ методом интервалов.
1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $1,4-x=0 \implies x=1,4$.
Нуль знаменателя: $x+3,8=0 \implies x=-3,8$.
2. Отмечаем точки $-3,8$ и $1,4$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.
Интервалы: $(-\infty; -3,8)$, $(-3,8; 1,4)$ и $(1,4; +\infty)$.
3. Определяем знак дроби в каждом интервале.
- В интервале $(1,4; +\infty)$, возьмем $x=2$: $\frac{1,4-2}{2+3,8} = \frac{-0,6}{5,8} < 0$. Знак «-».
- В интервале $(-3,8; 1,4)$, возьмем $x=0$: $\frac{1,4-0}{0+3,8} = \frac{1,4}{3,8} > 0$. Знак «+».
- В интервале $(-\infty; -3,8)$, возьмем $x=-4$: $\frac{1,4-(-4)}{-4+3,8} = \frac{5,4}{-0,2} < 0$. Знак «-».
4. Нам нужны значения, где выражение меньше нуля ($<0$), поэтому выбираем интервалы со знаком «-».
Это интервалы $(-\infty; -3,8)$ и $(1,4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3,8) \cup (1,4; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{2x}{x-1,6} > 0$ методом интервалов.
1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $2x=0 \implies x=0$.
Нуль знаменателя: $x-1,6=0 \implies x=1,6$.
2. Отмечаем точки $0$ и $1,6$ на числовой прямой. Обе точки выколотые.
Интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 1,6)$ и $(1,6; +\infty)$.
3. Определяем знак дроби в каждом интервале.
- В интервале $(1,6; +\infty)$, возьмем $x=2$: $\frac{2 \cdot 2}{2-1,6} = \frac{4}{0,4} > 0$. Знак «+».
- В интервале $(0; 1,6)$, возьмем $x=1$: $\frac{2 \cdot 1}{1-1,6} = \frac{2}{-0,6} < 0$. Знак «-».
- В интервале $(-\infty; 0)$, возьмем $x=-1$: $\frac{2 \cdot (-1)}{-1-1,6} = \frac{-2}{-2,6} > 0$. Знак «+».
4. Нам нужны значения, где выражение больше нуля ($>0$), поэтому выбираем интервалы со знаком «+».
Это интервалы $(-\infty; 0)$ и $(1,6; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1,6; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{5x-1,5}{x-4} > 0$ методом интервалов.
1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $5x-1,5=0 \implies 5x=1,5 \implies x=0,3$.
Нуль знаменателя: $x-4=0 \implies x=4$.
2. Отмечаем точки $0,3$ и $4$ на числовой прямой. Обе точки выколотые.
Интервалы: $(-\infty; 0,3)$, $(0,3; 4)$ и $(4; +\infty)$.
3. Определяем знак дроби в каждом интервале.
- В интервале $(4; +\infty)$, возьмем $x=5$: $\frac{5 \cdot 5-1,5}{5-4} = \frac{23,5}{1} > 0$. Знак «+».
- В интервале $(0,3; 4)$, возьмем $x=1$: $\frac{5 \cdot 1-1,5}{1-4} = \frac{3,5}{-3} < 0$. Знак «-».
- В интервале $(-\infty; 0,3)$, возьмем $x=0$: $\frac{5 \cdot 0-1,5}{0-4} = \frac{-1,5}{-4} > 0$. Знак «+».
4. Нам нужны значения, где выражение больше нуля ($>0$), поэтому выбираем интервалы со знаком «+».
Это интервалы $(-\infty; 0,3)$ и $(4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0,3) \cup (4; +\infty)$.

д) Решим неравенство $\frac{5x+1}{x-2} > 0$ методом интервалов.
1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $5x+1=0 \implies 5x=-1 \implies x=-0,2$.
Нуль знаменателя: $x-2=0 \implies x=2$.
2. Отмечаем точки $-0,2$ и $2$ на числовой прямой. Обе точки выколотые.
Интервалы: $(-\infty; -0,2)$, $(-0,2; 2)$ и $(2; +\infty)$.
3. Определяем знак дроби в каждом интервале.
- В интервале $(2; +\infty)$, возьмем $x=3$: $\frac{5 \cdot 3+1}{3-2} = \frac{16}{1} > 0$. Знак «+».
- В интервале $(-0,2; 2)$, возьмем $x=0$: $\frac{5 \cdot 0+1}{0-2} = \frac{1}{-2} < 0$. Знак «-».
- В интервале $(-\infty; -0,2)$, возьмем $x=-1$: $\frac{5 \cdot (-1)+1}{-1-2} = \frac{-4}{-3} > 0$. Знак «+».
4. Нам нужны значения, где выражение больше нуля ($>0$), поэтому выбираем интервалы со знаком «+».
Это интервалы $(-\infty; -0,2)$ и $(2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -0,2) \cup (2; +\infty)$.

е) Решим неравенство $\frac{3x}{2x+9} < 0$ методом интервалов.
1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $3x=0 \implies x=0$.
Нуль знаменателя: $2x+9=0 \implies 2x=-9 \implies x=-4,5$.
2. Отмечаем точки $-4,5$ и $0$ на числовой прямой. Обе точки выколотые.
Интервалы: $(-\infty; -4,5)$, $(-4,5; 0)$ и $(0; +\infty)$.
3. Определяем знак дроби в каждом интервале.
- В интервале $(0; +\infty)$, возьмем $x=1$: $\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1+9} = \frac{3}{11} > 0$. Знак «+».
- В интервале $(-4,5; 0)$, возьмем $x=-1$: $\frac{3 \cdot (-1)}{2 \cdot (-1)+9} = \frac{-3}{7} < 0$. Знак «-».
- В интервале $(-\infty; -4,5)$, возьмем $x=-5$: $\frac{3 \cdot (-5)}{2 \cdot (-5)+9} = \frac{-15}{-1} > 0$. Знак «+».
4. Нам нужны значения, где выражение меньше нуля ($<0$), поэтому выбираем интервал со знаком «-».
Это интервал $(-4,5; 0)$.
Ответ: $x \in (-4,5; 0)$.