Номер 300, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 17. Решение неравенств методом интервалов - номер 300, страница 98.

Условие.

300. Два сосуда были наполнены растворами соли, причём в первом сосуде содержалось на 1 л меньше раствора, чем во втором. Концентрация раствора в первом сосуде составляла 10%, а во втором — 20%. После того как растворы слили в третий сосуд, получили новый раствор, концентрация которого составила 16%. Сколько раствора было в каждом сосуде первоначально?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Обозначим объем раствора в первом сосуде как $V_1$ (в литрах), а объем раствора во втором сосуде как $V_2$ (в литрах).

Из условия известно, что в первом сосуде было на 1 литр раствора меньше, чем во втором. Это дает нам первое уравнение:

$V_1 = V_2 - 1$

Далее, рассчитаем количество чистой соли в каждом сосуде. Концентрация — это отношение массы растворенного вещества к общему объему раствора. Масса соли в первом сосуде (с концентрацией 10%, или 0,1) равна:

$S_1 = 0,1 \cdot V_1$

Масса соли во втором сосуде (с концентрацией 20%, или 0,2) равна:

$S_2 = 0,2 \cdot V_2$

Когда растворы слили в третий сосуд, общий объем смеси стал равен сумме объемов исходных растворов:

$V_{общ} = V_1 + V_2$

Общая масса соли в смеси стала равна сумме масс соли из двух сосудов:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 0,1V_1 + 0,2V_2$

Концентрация полученного раствора составляет 16% (или 0,16). Эта концентрация определяется как отношение общей массы соли к общему объему раствора. Это дает нам второе уравнение:

$0,16 = \frac{S_{общ}}{V_{общ}} = \frac{0,1V_1 + 0,2V_2}{V_1 + V_2}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $V_1 = V_2 - 1$

2. $0,16(V_1 + V_2) = 0,1V_1 + 0,2V_2$

Подставим выражение для $V_1$ из первого уравнения во второе:

$0,16((V_2 - 1) + V_2) = 0,1(V_2 - 1) + 0,2V_2$

Теперь решим это уравнение относительно $V_2$:

$0,16(2V_2 - 1) = 0,1V_2 - 0,1 + 0,2V_2$

$0,32V_2 - 0,16 = 0,3V_2 - 0,1$

Перенесем все члены с $V_2$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую:

$0,32V_2 - 0,3V_2 = 0,16 - 0,1$

$0,02V_2 = 0,06$

$V_2 = \frac{0,06}{0,02}$

$V_2 = 3$

Итак, объем раствора во втором сосуде составлял 3 литра. Теперь найдем объем раствора в первом сосуде, используя первое уравнение:

$V_1 = V_2 - 1 = 3 - 1 = 2$

Объем раствора в первом сосуде составлял 2 литра.

Проверка:

Соль в первом сосуде: $2 \text{ л} \cdot 10\% = 0,2 \text{ л}$.

Соль во втором сосуде: $3 \text{ л} \cdot 20\% = 0,6 \text{ л}$.

Общий объем смеси: $2 \text{ л} + 3 \text{ л} = 5 \text{ л}$.

Общее количество соли: $0,2 \text{ л} + 0,6 \text{ л} = 0,8 \text{ л}$.

Концентрация смеси: $\frac{0,8 \text{ л}}{5 \text{ л}} = 0,16$, что соответствует 16%.

Решение верное.

Ответ: первоначально в первом сосуде было 2 литра раствора, а во втором — 3 литра раствора.